แก้โจทย์ (x-3)^2+(x+4)^2=16

$$( x - 3 ) ^ { 2 } + ( x + 4 ) ^ { 2 } = 16$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2}\approx -0.5+2.061552813i$$

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}\approx -0.5-2.061552813i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x-3\right)^{2}

$$x^{2}-6x+9+\left(x+4\right)^{2}=16$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x+4\right)^{2}

$$x^{2}-6x+9+x^{2}+8x+16=16$$

รวม x^{2} และ x^{2} เพื่อให้ได้รับ 2x^{2}

$$2x^{2}-6x+9+8x+16=16$$

รวม -6x และ 8x เพื่อให้ได้รับ 2x

$$2x^{2}+2x+9+16=16$$

เพิ่ม 9 และ 16 เพื่อให้ได้รับ 25

$$2x^{2}+2x+25=16$$

ลบ 16 จากทั้งสองด้าน

$$2x^{2}+2x+25-16=0$$

ลบ 16 จาก 25 เพื่อรับ 9

$$2x^{2}+2x+9=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 2 แทน a, 2 แทน b และ 9 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

ยกกำลังสอง 2

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

คูณ -4 ด้วย 2

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8\times 9}}{2\times 2}$$

คูณ -8 ด้วย 9

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-72}}{2\times 2}$$

เพิ่ม 4 ไปยัง -72

$$x=\frac{-2±\sqrt{-68}}{2\times 2}$$

หารากที่สองของ -68

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{2\times 2}$$

คูณ 2 ด้วย 2

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{4}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{4} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -2 ไปยัง 2i\sqrt{17}

$$x=\frac{-2+2\sqrt{17}i}{4}$$

หาร -2+2i\sqrt{17} ด้วย 4

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{4} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 2i\sqrt{17} จาก -2

$$x=\frac{-2\sqrt{17}i-2}{4}$$

หาร -2-2i\sqrt{17} ด้วย 4

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2} x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x-3\right)^{2}

$$x^{2}-6x+9+\left(x+4\right)^{2}=16$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x+4\right)^{2}

$$x^{2}-6x+9+x^{2}+8x+16=16$$

รวม x^{2} และ x^{2} เพื่อให้ได้รับ 2x^{2}

$$2x^{2}-6x+9+8x+16=16$$

รวม -6x และ 8x เพื่อให้ได้รับ 2x

$$2x^{2}+2x+9+16=16$$

เพิ่ม 9 และ 16 เพื่อให้ได้รับ 25

$$2x^{2}+2x+25=16$$

ลบ 25 จากทั้งสองด้าน

$$2x^{2}+2x=16-25$$

ลบ 25 จาก 16 เพื่อรับ -9

$$2x^{2}+2x=-9$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=-\frac{9}{2}$$

หารด้วย 2 เลิกทำการคูณด้วย 2

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=-\frac{9}{2}$$

หาร 2 ด้วย 2

$$x^{2}+x=-\frac{9}{2}$$

หาร 1 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{1}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{1}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{1}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{2}+\frac{1}{4}$$

เพิ่ม -\frac{9}{2} ไปยัง \frac{1}{4} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

ตัวประกอบx^{2}+x+\frac{1}{4} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{17}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{17}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{17}i}{2}$$

ลบ \frac{1}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2} x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}$$