แก้โจทย์ (x-2)^3=64

$$( x - 2 ) ^ { 3 } = 64$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=6$$

$$x=2\sqrt{3}i\approx 3.464101615i$$

$$x=-2\sqrt{3}i\approx -0-3.464101615i$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} เพื่อขยาย \left(x-2\right)^{3}

$$x^{3}-6x^{2}+12x-8=64$$

ลบ 64 จากทั้งสองด้าน

$$x^{3}-6x^{2}+12x-8-64=0$$

ลบ 64 จาก -8 เพื่อรับ -72

$$x^{3}-6x^{2}+12x-72=0$$

ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะทั้งหมดของพหุนามอยู่ในรูปแบบ \frac{p}{q} ที่ p หารพจน์ค่าคงที่ -72 และ q หารค่าสัมประสิทธิ์นำ 1 แสดงรายการผู้สมัคร \frac{p}{q} ทั้งหมด

$$±72,±36,±24,±18,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

ค้นหารากดังกล่าวหนึ่งรายการโดยลองใช้ค่าจำนวนเต็มทั้งหมด โดยเริ่มต้นจากค่าที่น้อยที่สุดตามค่าสัมบูรณ์ ถ้าไม่พบรากจำนวนเต็ม ให้ลองใช้เศษส่วน

$$x=6$$

ตามทฤษฎีบทตัวประกอบ x-k เป็นตัวประกอบของพหุนามสำหรับแต่ละรากของ k หาร x^{3}-6x^{2}+12x-72 ด้วย x-6 เพื่อรับ x^{2}+12 แก้สมการที่ผลลัพธ์เท่ากับ 0

$$x^{2}+12=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 1 สำหรับ a 0 สำหรับ b และ 12 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 12}}{2}$$

ทำการคำนวณ

$$x=\frac{0±\sqrt{-48}}{2}$$

แก้สมการ x^{2}+12=0 เมื่อ ± เป็นบวก และเมื่อ ± เป็นลบ

$$x=-2i\sqrt{3} x=2i\sqrt{3}$$

แสดงรายการโซลูชันที่พบทั้งหมด

$$x=6 x=-2i\sqrt{3} x=2i\sqrt{3}$$

หาค่า x

$$x=6$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} เพื่อขยาย \left(x-2\right)^{3}

$$x^{3}-6x^{2}+12x-8=64$$

ลบ 64 จากทั้งสองด้าน

$$x^{3}-6x^{2}+12x-8-64=0$$

ลบ 64 จาก -8 เพื่อรับ -72

$$x^{3}-6x^{2}+12x-72=0$$

ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะทั้งหมดของพหุนามอยู่ในรูปแบบ \frac{p}{q} ที่ p หารพจน์ค่าคงที่ -72 และ q หารค่าสัมประสิทธิ์นำ 1 แสดงรายการผู้สมัคร \frac{p}{q} ทั้งหมด

$$±72,±36,±24,±18,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

ค้นหารากดังกล่าวหนึ่งรายการโดยลองใช้ค่าจำนวนเต็มทั้งหมด โดยเริ่มต้นจากค่าที่น้อยที่สุดตามค่าสัมบูรณ์ ถ้าไม่พบรากจำนวนเต็ม ให้ลองใช้เศษส่วน

$$x=6$$

ตามทฤษฎีบทตัวประกอบ x-k เป็นตัวประกอบของพหุนามสำหรับแต่ละรากของ k หาร x^{3}-6x^{2}+12x-72 ด้วย x-6 เพื่อรับ x^{2}+12 แก้สมการที่ผลลัพธ์เท่ากับ 0

$$x^{2}+12=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 1 สำหรับ a 0 สำหรับ b และ 12 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 12}}{2}$$

ทำการคำนวณ

$$x=\frac{0±\sqrt{-48}}{2}$$

เนื่องจากไม่ได้กำหนดรากที่สองของจำนวนลบในเขตข้อมูลจำนวนจริง จึงไม่มีผลเฉลยอยู่

$$x\in \emptyset$$

แสดงรายการโซลูชันที่พบทั้งหมด

$$x=6$$