แก้โจทย์ (x-1)^3=-27

$$( x - 1 ) ^ { 3 } = - 27$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=-2$$

$$x=\frac{5+3\sqrt{3}i}{2}\approx 2.5+2.598076211i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i+5}{2}\approx 2.5-2.598076211i$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} เพื่อขยาย \left(x-1\right)^{3}

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=-27$$

เพิ่ม 27 ไปทั้งสองด้าน

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1+27=0$$

เพิ่ม -1 และ 27 เพื่อให้ได้รับ 26

$$x^{3}-3x^{2}+3x+26=0$$

ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะทั้งหมดของพหุนามอยู่ในรูปแบบ \frac{p}{q} ที่ p หารพจน์ค่าคงที่ 26 และ q หารค่าสัมประสิทธิ์นำ 1 แสดงรายการผู้สมัคร \frac{p}{q} ทั้งหมด

$$±26,±13,±2,±1$$

ค้นหารากดังกล่าวหนึ่งรายการโดยลองใช้ค่าจำนวนเต็มทั้งหมด โดยเริ่มต้นจากค่าที่น้อยที่สุดตามค่าสัมบูรณ์ ถ้าไม่พบรากจำนวนเต็ม ให้ลองใช้เศษส่วน

$$x=-2$$

ตามทฤษฎีบทตัวประกอบ x-k เป็นตัวประกอบของพหุนามสำหรับแต่ละรากของ k หาร x^{3}-3x^{2}+3x+26 ด้วย x+2 เพื่อรับ x^{2}-5x+13 แก้สมการที่ผลลัพธ์เท่ากับ 0

$$x^{2}-5x+13=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 1 สำหรับ a -5 สำหรับ b และ 13 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 1\times 13}}{2}$$

ทำการคำนวณ

$$x=\frac{5±\sqrt{-27}}{2}$$

แก้สมการ x^{2}-5x+13=0 เมื่อ ± เป็นบวก และเมื่อ ± เป็นลบ

$$x=\frac{-3i\sqrt{3}+5}{2} x=\frac{5+3i\sqrt{3}}{2}$$

แสดงรายการโซลูชันที่พบทั้งหมด

$$x=-2 x=\frac{-3i\sqrt{3}+5}{2} x=\frac{5+3i\sqrt{3}}{2}$$

หาค่า x

$$x=-2$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} เพื่อขยาย \left(x-1\right)^{3}

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=-27$$

เพิ่ม 27 ไปทั้งสองด้าน

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1+27=0$$

เพิ่ม -1 และ 27 เพื่อให้ได้รับ 26

$$x^{3}-3x^{2}+3x+26=0$$

ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะทั้งหมดของพหุนามอยู่ในรูปแบบ \frac{p}{q} ที่ p หารพจน์ค่าคงที่ 26 และ q หารค่าสัมประสิทธิ์นำ 1 แสดงรายการผู้สมัคร \frac{p}{q} ทั้งหมด

$$±26,±13,±2,±1$$

ค้นหารากดังกล่าวหนึ่งรายการโดยลองใช้ค่าจำนวนเต็มทั้งหมด โดยเริ่มต้นจากค่าที่น้อยที่สุดตามค่าสัมบูรณ์ ถ้าไม่พบรากจำนวนเต็ม ให้ลองใช้เศษส่วน

$$x=-2$$

ตามทฤษฎีบทตัวประกอบ x-k เป็นตัวประกอบของพหุนามสำหรับแต่ละรากของ k หาร x^{3}-3x^{2}+3x+26 ด้วย x+2 เพื่อรับ x^{2}-5x+13 แก้สมการที่ผลลัพธ์เท่ากับ 0

$$x^{2}-5x+13=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 1 สำหรับ a -5 สำหรับ b และ 13 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 1\times 13}}{2}$$

ทำการคำนวณ

$$x=\frac{5±\sqrt{-27}}{2}$$

เนื่องจากไม่ได้กำหนดรากที่สองของจำนวนลบในเขตข้อมูลจำนวนจริง จึงไม่มีผลเฉลยอยู่

$$x\in \emptyset$$

แสดงรายการโซลูชันที่พบทั้งหมด

$$x=-2$$