แก้โจทย์ (x)=-1/2x^2+21x^2-7x+100

$$( x ) = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + 21 x ^ { 2 } - 7 x + 100$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{8+6\sqrt{226}i}{41}\approx 0.195121951+2.199994592i$$

$$x=\frac{-6\sqrt{226}i+8}{41}\approx 0.195121951-2.199994592i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

รวม -\frac{1}{2}x^{2} และ 21x^{2} เพื่อให้ได้รับ \frac{41}{2}x^{2}

$$x=\frac{41}{2}x^{2}-7x+100$$

ลบ \frac{41}{2}x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$x-\frac{41}{2}x^{2}=-7x+100$$

เพิ่ม 7x ไปทั้งสองด้าน

$$x-\frac{41}{2}x^{2}+7x=100$$

รวม x และ 7x เพื่อให้ได้รับ 8x

$$8x-\frac{41}{2}x^{2}=100$$

ลบ 100 จากทั้งสองด้าน

$$8x-\frac{41}{2}x^{2}-100=0$$

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$-\frac{41}{2}x^{2}+8x-100=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ -\frac{41}{2} แทน a, 8 แทน b และ -100 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-\frac{41}{2}\right)\left(-100\right)}}{2\left(-\frac{41}{2}\right)}$$

ยกกำลังสอง 8

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-\frac{41}{2}\right)\left(-100\right)}}{2\left(-\frac{41}{2}\right)}$$

คูณ -4 ด้วย -\frac{41}{2}

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+82\left(-100\right)}}{2\left(-\frac{41}{2}\right)}$$

คูณ 82 ด้วย -100

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-8200}}{2\left(-\frac{41}{2}\right)}$$

เพิ่ม 64 ไปยัง -8200

$$x=\frac{-8±\sqrt{-8136}}{2\left(-\frac{41}{2}\right)}$$

หารากที่สองของ -8136

$$x=\frac{-8±6\sqrt{226}i}{2\left(-\frac{41}{2}\right)}$$

คูณ 2 ด้วย -\frac{41}{2}

$$x=\frac{-8±6\sqrt{226}i}{-41}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-8±6\sqrt{226}i}{-41} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -8 ไปยัง 6i\sqrt{226}

$$x=\frac{-8+6\sqrt{226}i}{-41}$$

หาร -8+6i\sqrt{226} ด้วย -41

$$x=\frac{-6\sqrt{226}i+8}{41}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-8±6\sqrt{226}i}{-41} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 6i\sqrt{226} จาก -8

$$x=\frac{-6\sqrt{226}i-8}{-41}$$

หาร -8-6i\sqrt{226} ด้วย -41

$$x=\frac{8+6\sqrt{226}i}{41}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{-6\sqrt{226}i+8}{41} x=\frac{8+6\sqrt{226}i}{41}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

รวม -\frac{1}{2}x^{2} และ 21x^{2} เพื่อให้ได้รับ \frac{41}{2}x^{2}

$$x=\frac{41}{2}x^{2}-7x+100$$

ลบ \frac{41}{2}x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$x-\frac{41}{2}x^{2}=-7x+100$$

เพิ่ม 7x ไปทั้งสองด้าน

$$x-\frac{41}{2}x^{2}+7x=100$$

รวม x และ 7x เพื่อให้ได้รับ 8x

$$8x-\frac{41}{2}x^{2}=100$$

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$-\frac{41}{2}x^{2}+8x=100$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{41}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$\frac{-\frac{41}{2}x^{2}+8x}{-\frac{41}{2}}=\frac{100}{-\frac{41}{2}}$$

หารด้วย -\frac{41}{2} เลิกทำการคูณด้วย -\frac{41}{2}

$$x^{2}+\frac{8}{-\frac{41}{2}}x=\frac{100}{-\frac{41}{2}}$$

หาร 8 ด้วย -\frac{41}{2} โดยคูณ 8 ด้วยส่วนกลับของ -\frac{41}{2}

$$x^{2}-\frac{16}{41}x=\frac{100}{-\frac{41}{2}}$$

หาร 100 ด้วย -\frac{41}{2} โดยคูณ 100 ด้วยส่วนกลับของ -\frac{41}{2}

$$x^{2}-\frac{16}{41}x=-\frac{200}{41}$$

หาร -\frac{16}{41} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{8}{41} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{8}{41} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{16}{41}x+\left(-\frac{8}{41}\right)^{2}=-\frac{200}{41}+\left(-\frac{8}{41}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{8}{41} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{16}{41}x+\frac{64}{1681}=-\frac{200}{41}+\frac{64}{1681}$$

เพิ่ม -\frac{200}{41} ไปยัง \frac{64}{1681} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{16}{41}x+\frac{64}{1681}=-\frac{8136}{1681}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{16}{41}x+\frac{64}{1681} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{8}{41}\right)^{2}=-\frac{8136}{1681}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{41}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{8136}{1681}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{8}{41}=\frac{6\sqrt{226}i}{41} x-\frac{8}{41}=-\frac{6\sqrt{226}i}{41}$$

เพิ่ม \frac{8}{41} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{8+6\sqrt{226}i}{41} x=\frac{-6\sqrt{226}i+8}{41}$$