แก้โจทย์ (x+1)^2-5x(x+1)=0

$$( x + 1 ) ^ { 2 } - 5 x ( x + 1 ) = 0$$

หาค่า x

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$x=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x+1\right)^{2}

$$x^{2}+2x+1-5x\left(x+1\right)=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -5x ด้วย x+1

$$x^{2}+2x+1-5x^{2}-5x=0$$

รวม x^{2} และ -5x^{2} เพื่อให้ได้รับ -4x^{2}

$$-4x^{2}+2x+1-5x=0$$

รวม 2x และ -5x เพื่อให้ได้รับ -3x

$$-4x^{2}-3x+1=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น -4x^{2}+ax+bx+1 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-3 ab=-4=-4$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบตัวเลขค่าลบมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจำนวนบวก แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -4

$$1,-4 2,-2$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1-4=-3 2-2=0$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -3

$$a=1 b=-4$$

เขียน -4x^{2}-3x+1 ใหม่เป็น \left(-4x^{2}+x\right)+\left(-4x+1\right)

$$\left(-4x^{2}+x\right)+\left(-4x+1\right)$$

แยกตัวประกอบ -x ในกลุ่มแรกและ -1 ใน

$$-x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม 4x-1 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(4x-1\right)\left(-x-1\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข 4x-1=0 และ -x-1=0

$$x=\frac{1}{4} x=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x+1\right)^{2}

$$x^{2}+2x+1-5x\left(x+1\right)=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -5x ด้วย x+1

$$x^{2}+2x+1-5x^{2}-5x=0$$

รวม x^{2} และ -5x^{2} เพื่อให้ได้รับ -4x^{2}

$$-4x^{2}+2x+1-5x=0$$

รวม 2x และ -5x เพื่อให้ได้รับ -3x

$$-4x^{2}-3x+1=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ -4 แทน a, -3 แทน b และ 1 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

ยกกำลังสอง -3

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

คูณ -4 ด้วย -4

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+16}}{2\left(-4\right)}$$

เพิ่ม 9 ไปยัง 16

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{25}}{2\left(-4\right)}$$

หารากที่สองของ 25

$$x=\frac{-\left(-3\right)±5}{2\left(-4\right)}$$

ตรงข้ามกับ -3 คือ 3

$$x=\frac{3±5}{2\left(-4\right)}$$

คูณ 2 ด้วย -4

$$x=\frac{3±5}{-8}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{3±5}{-8} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 3 ไปยัง 5

$$x=\frac{8}{-8}$$

หาร 8 ด้วย -8

$$x=-1$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{3±5}{-8} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 5 จาก 3

$$x=-\frac{2}{-8}$$

ทำเศษส่วน \frac{-2}{-8} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$x=\frac{1}{4}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=-1 x=\frac{1}{4}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x+1\right)^{2}

$$x^{2}+2x+1-5x\left(x+1\right)=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -5x ด้วย x+1

$$x^{2}+2x+1-5x^{2}-5x=0$$

รวม x^{2} และ -5x^{2} เพื่อให้ได้รับ -4x^{2}

$$-4x^{2}+2x+1-5x=0$$

รวม 2x และ -5x เพื่อให้ได้รับ -3x

$$-4x^{2}-3x+1=0$$

ลบ 1 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$-4x^{2}-3x=-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$\frac{-4x^{2}-3x}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

หารด้วย -4 เลิกทำการคูณด้วย -4

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-4}\right)x=-\frac{1}{-4}$$

หาร -3 ด้วย -4

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=-\frac{1}{-4}$$

หาร -1 ด้วย -4

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=\frac{1}{4}$$

หาร \frac{3}{4} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{3}{8} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{3}{8} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{3}{8} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

เพิ่ม \frac{1}{4} ไปยัง \frac{9}{64} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

ตัวประกอบx^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{3}{8}=\frac{5}{8} x+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

ลบ \frac{3}{8} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{1}{4} x=-1$$