แก้โจทย์ (v+4)^2=2v^2+2v+9

$$( v + 4 ) ^ { 2 } = 2 v ^ { 2 } + 2 v + 9$$

หาค่า v

$$v=-1$$

$$v=7$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(v+4\right)^{2}

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

ลบ 2v^{2} จากทั้งสองด้าน

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

รวม v^{2} และ -2v^{2} เพื่อให้ได้รับ -v^{2}

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

ลบ 2v จากทั้งสองด้าน

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

รวม 8v และ -2v เพื่อให้ได้รับ 6v

$$-v^{2}+6v+16=9$$

ลบ 9 จากทั้งสองด้าน

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

ลบ 9 จาก 16 เพื่อรับ 7

$$-v^{2}+6v+7=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น -v^{2}+av+bv+7 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=6 ab=-7=-7$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นบวกจำนวนบวกมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจุดลบ คู่ดังกล่าวเท่านั้นที่เป็นผลเฉลยระบบ

$$a=7 b=-1$$

เขียน -v^{2}+6v+7 ใหม่เป็น \left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right)

$$\left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right)$$

แยกตัวประกอบ -v ในกลุ่มแรกและ -1 ใน

$$-v\left(v-7\right)-\left(v-7\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม v-7 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(v-7\right)\left(-v-1\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข v-7=0 และ -v-1=0

$$v=7 v=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(v+4\right)^{2}

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

ลบ 2v^{2} จากทั้งสองด้าน

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

รวม v^{2} และ -2v^{2} เพื่อให้ได้รับ -v^{2}

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

ลบ 2v จากทั้งสองด้าน

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

รวม 8v และ -2v เพื่อให้ได้รับ 6v

$$-v^{2}+6v+16=9$$

ลบ 9 จากทั้งสองด้าน

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

ลบ 9 จาก 16 เพื่อรับ 7

$$-v^{2}+6v+7=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ -1 แทน a, 6 แทน b และ 7 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$v=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

ยกกำลังสอง 6

$$v=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

คูณ -4 ด้วย -1

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+4\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

คูณ 4 ด้วย 7

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+28}}{2\left(-1\right)}$$

เพิ่ม 36 ไปยัง 28

$$v=\frac{-6±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

หารากที่สองของ 64

$$v=\frac{-6±8}{2\left(-1\right)}$$

คูณ 2 ด้วย -1

$$v=\frac{-6±8}{-2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ v=\frac{-6±8}{-2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -6 ไปยัง 8

$$v=\frac{2}{-2}$$

หาร 2 ด้วย -2

$$v=-1$$

ตอนนี้ แก้สมการ v=\frac{-6±8}{-2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 8 จาก -6

$$v=-\frac{14}{-2}$$

หาร -14 ด้วย -2

$$v=7$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$v=-1 v=7$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(v+4\right)^{2}

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

ลบ 2v^{2} จากทั้งสองด้าน

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

รวม v^{2} และ -2v^{2} เพื่อให้ได้รับ -v^{2}

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

ลบ 2v จากทั้งสองด้าน

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

รวม 8v และ -2v เพื่อให้ได้รับ 6v

$$-v^{2}+6v+16=9$$

ลบ 16 จากทั้งสองด้าน

$$-v^{2}+6v=9-16$$

ลบ 16 จาก 9 เพื่อรับ -7

$$-v^{2}+6v=-7$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$\frac{-v^{2}+6v}{-1}=-\frac{7}{-1}$$

หารด้วย -1 เลิกทำการคูณด้วย -1

$$v^{2}+\frac{6}{-1}v=-\frac{7}{-1}$$

หาร 6 ด้วย -1

$$v^{2}-6v=-\frac{7}{-1}$$

หาร -7 ด้วย -1

$$v^{2}-6v=7$$

หาร -6 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -3 จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -3 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$v^{2}-6v+\left(-3\right)^{2}=7+\left(-3\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -3

$$v^{2}-6v+9=7+9$$

เพิ่ม 7 ไปยัง 9

$$v^{2}-6v+9=16$$

ตัวประกอบv^{2}-6v+9 โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(v-3\right)^{2}=16$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(v-3\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$v-3=4 v-3=-4$$

เพิ่ม 3 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$v=7 v=-1$$