แก้โจทย์ (9-5x)^2+2(9-5x)^2-24<0

$$( 9 - 5 x ) ^ { 2 } + 2 ( 9 - 5 x ) ^ { 2 } - 24 < 0$$

หาค่า x

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(9-5x\right)^{2}

$$81-90x+25x^{2}+2\left(9-5x\right)^{2}-24<0$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(9-5x\right)^{2}

$$81-90x+25x^{2}+2\left(81-90x+25x^{2}\right)-24<0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย 81-90x+25x^{2}

$$81-90x+25x^{2}+162-180x+50x^{2}-24<0$$

เพิ่ม 81 และ 162 เพื่อให้ได้รับ 243

$$243-90x+25x^{2}-180x+50x^{2}-24<0$$

รวม -90x และ -180x เพื่อให้ได้รับ -270x

$$243-270x+25x^{2}+50x^{2}-24<0$$

รวม 25x^{2} และ 50x^{2} เพื่อให้ได้รับ 75x^{2}

$$243-270x+75x^{2}-24<0$$

ลบ 24 จาก 243 เพื่อรับ 219

$$219-270x+75x^{2}<0$$

เมื่อต้องการแก้อสมการ ให้แยกตัวประกอบด้านซ้ายมือ สมการพหุนามกำลังสองสามารถแยกตัวประกอบโดยใช้การแปลง ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) ที่ x_{1} และ x_{2} เป็นผลเฉลยของสมการกำลังสอง ax^{2}+bx+c=0

$$219-270x+75x^{2}=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 75 สำหรับ a -270 สำหรับ b และ 219 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$x=\frac{-\left(-270\right)±\sqrt{\left(-270\right)^{2}-4\times 75\times 219}}{2\times 75}$$

ทำการคำนวณ

$$x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150}$$

แก้สมการ x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150} เมื่อ ± เป็นบวก และเมื่อ ± เป็นลบ

$$x=\frac{2\sqrt{2}+9}{5} x=\frac{9-2\sqrt{2}}{5}$$

เขียนอสมการใหม่โดยใช้ผลเฉลยที่ได้

$$75\left(x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)\left(x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}\right)<0$$

เพื่อให้ผลคูณเป็นค่าลบ x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} และ x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} ต้องเป็นเครื่องหมายตรงกันข้าม พิจารณากรณีเมื่อ x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} เป็นค่าบวก และ x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} เป็นค่าลบ

$$x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}>0 x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}<0$$

เป็นเท็จสำหรับ x ใดๆ

$$x\in \emptyset$$

พิจารณากรณีเมื่อ x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} เป็นค่าบวก และ x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} เป็นค่าลบ

$$x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}>0 x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}<0$$

ผลเฉลยที่แก้ไขอสมการทั้งสองคือ x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

ผลเฉลยสุดท้ายคือการรวมผลเฉลยที่ได้

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$