แก้โจทย์ (4x-1)^2=(x-1)(x+1)

$$( 4 x - 1 ) ^ { 2 } = ( x - 1 ) ( x + 1 )$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15}\approx 0.266666667+0.249443826i$$

$$x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}\approx 0.266666667-0.249443826i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(4x-1\right)^{2}

$$16x^{2}-8x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

พิจารณา \left(x-1\right)\left(x+1\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้ ยกกำลังสอง 1

$$16x^{2}-8x+1=x^{2}-1$$

ลบ x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$16x^{2}-8x+1-x^{2}=-1$$

รวม 16x^{2} และ -x^{2} เพื่อให้ได้รับ 15x^{2}

$$15x^{2}-8x+1=-1$$

เพิ่ม 1 ไปทั้งสองด้าน

$$15x^{2}-8x+1+1=0$$

เพิ่ม 1 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 2

$$15x^{2}-8x+2=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 15 แทน a, -8 แทน b และ 2 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

ยกกำลังสอง -8

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

คูณ -4 ด้วย 15

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60\times 2}}{2\times 15}$$

คูณ -60 ด้วย 2

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-120}}{2\times 15}$$

เพิ่ม 64 ไปยัง -120

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{-56}}{2\times 15}$$

หารากที่สองของ -56

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{14}i}{2\times 15}$$

ตรงข้ามกับ -8 คือ 8

$$x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{2\times 15}$$

คูณ 2 ด้วย 15

$$x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 8 ไปยัง 2i\sqrt{14}

$$x=\frac{8+2\sqrt{14}i}{30}$$

หาร 8+2i\sqrt{14} ด้วย 30

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 2i\sqrt{14} จาก 8

$$x=\frac{-2\sqrt{14}i+8}{30}$$

หาร 8-2i\sqrt{14} ด้วย 30

$$x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15} x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(4x-1\right)^{2}

$$16x^{2}-8x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

พิจารณา \left(x-1\right)\left(x+1\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้ ยกกำลังสอง 1

$$16x^{2}-8x+1=x^{2}-1$$

ลบ x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$16x^{2}-8x+1-x^{2}=-1$$

รวม 16x^{2} และ -x^{2} เพื่อให้ได้รับ 15x^{2}

$$15x^{2}-8x+1=-1$$

ลบ 1 จากทั้งสองด้าน

$$15x^{2}-8x=-1-1$$

ลบ 1 จาก -1 เพื่อรับ -2

$$15x^{2}-8x=-2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 15

$$\frac{15x^{2}-8x}{15}=-\frac{2}{15}$$

หารด้วย 15 เลิกทำการคูณด้วย 15

$$x^{2}-\frac{8}{15}x=-\frac{2}{15}$$

หาร -\frac{8}{15} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{4}{15} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{4}{15} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{4}{15} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=-\frac{2}{15}+\frac{16}{225}$$

เพิ่ม -\frac{2}{15} ไปยัง \frac{16}{225} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=-\frac{14}{225}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{14}{225}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{14}{225}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{4}{15}=\frac{\sqrt{14}i}{15} x-\frac{4}{15}=-\frac{\sqrt{14}i}{15}$$

เพิ่ม \frac{4}{15} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15} x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$