แก้โจทย์ (4sqrt{3}+frac{xsqrt{3}}{2})^2+x^2/4=156

$$( 4 \sqrt { 3 } + \frac { x \sqrt { 3 } } { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { x ^ { 2 } } { 4 } = 156$$

หาค่า x

$$x=-18$$

$$x=6$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 4

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

รากที่สองของ \sqrt{3} คือ 3

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

คูณ 16 และ 3 เพื่อรับ 48

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

ตัด 2 ตัวหารร่วมมากใน 8 และ 2

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

เมื่อต้องการยกกำลัง \frac{x\sqrt{3}}{2} ให้ยกกำลังทั้งตัวเศษและตัวส่วนแล้วหาร

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน คูณ 48 ด้วย \frac{2^{2}}{2^{2}}

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

เนื่องจาก \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} และ \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้เพิ่มโดยการบวกตัวเศษ

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

คำนวณ 2 กำลังของ 2 และรับ 4

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

คูณ 48 และ 4 เพื่อรับ 192

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

ขยาย \left(x\sqrt{3}\right)^{2}

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

รากที่สองของ \sqrt{3} คือ 3

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

คำนวณ 2 กำลังของ 2 และรับ 4

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

แสดง 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} เป็นเศษส่วนเดียวกัน

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

ตัด 4 และ 4

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

รากที่สองของ \sqrt{3} คือ 3

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

คูณ 16 และ 3 เพื่อรับ 48

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

รวม x^{2}\times 3 และ x^{2} เพื่อให้ได้รับ 4x^{2}

$$192+4x^{2}+48x=624$$

ลบ 624 จากทั้งสองด้าน

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

ลบ 624 จาก 192 เพื่อรับ -432

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$-108+x^{2}+12x=0$$

จัดเรียงพหุเพื่อวางไว้ในรูปแบบมาตรฐาน วางพจน์ตามลำดับจากกำลังสูงสุดถึงต่ำสุด

$$x^{2}+12x-108=0$$

เมื่อต้องการแก้ไขสมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ต้องมีการเขียนใหม่ด้านซ้ายมืออีกครั้งเนื่องจาก x^{2}+ax+bx-108 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้ไข

$$a+b=12 ab=1\left(-108\right)=-108$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้าม เนื่องจาก a+b เป็นค่าบวกหมายเลขบวกมีค่าสัมบูรณ์มากเกินกว่าค่าลบ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -108

$$-1,108 -2,54 -3,36 -4,27 -6,18 -9,12$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1+108=107 -2+54=52 -3+36=33 -4+27=23 -6+18=12 -9+12=3$$

ผลเฉลยเป็นคู่ที่ให้ผลรวม 12

$$a=-6 b=18$$

เขียน x^{2}+12x-108 ใหม่เป็น \left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right)

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right)$$

แยกตัวประกอบ x ในกลุ่มแรกและ 18 ในกลุ่มที่สอง

$$x\left(x-6\right)+18\left(x-6\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม x-6 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(x-6\right)\left(x+18\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาผลเฉลยสมการ ให้แก้ x-6=0 และ x+18=0

$$x=6 x=-18$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 4

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

รากที่สองของ \sqrt{3} คือ 3

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

คูณ 16 และ 3 เพื่อรับ 48

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

ตัด 2 ตัวหารร่วมมากใน 8 และ 2

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

เมื่อต้องการยกกำลัง \frac{x\sqrt{3}}{2} ให้ยกกำลังทั้งตัวเศษและตัวส่วนแล้วหาร

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน คูณ 48 ด้วย \frac{2^{2}}{2^{2}}

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

เนื่องจาก \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} และ \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้เพิ่มโดยการบวกตัวเศษ

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

คำนวณ 2 กำลังของ 2 และรับ 4

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

คูณ 48 และ 4 เพื่อรับ 192

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

ขยาย \left(x\sqrt{3}\right)^{2}

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

รากที่สองของ \sqrt{3} คือ 3

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

คำนวณ 2 กำลังของ 2 และรับ 4

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

แสดง 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} เป็นเศษส่วนเดียวกัน

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

ตัด 4 และ 4

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

รากที่สองของ \sqrt{3} คือ 3

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

คูณ 16 และ 3 เพื่อรับ 48

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

รวม x^{2}\times 3 และ x^{2} เพื่อให้ได้รับ 4x^{2}

$$192+4x^{2}+48x=624$$

ลบ 624 จากทั้งสองด้าน

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

ลบ 624 จาก 192 เพื่อรับ -432

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$4x^{2}+48x-432=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 4 แทน a, 48 แทน b และ -432 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

ยกกำลังสอง 48

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

คูณ -4 ด้วย 4

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

คูณ -16 ด้วย -432

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+6912}}{2\times 4}$$

เพิ่ม 2304 ไปยัง 6912

$$x=\frac{-48±\sqrt{9216}}{2\times 4}$$

หารากที่สองของ 9216

$$x=\frac{-48±96}{2\times 4}$$

คูณ 2 ด้วย 4

$$x=\frac{-48±96}{8}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-48±96}{8} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -48 ไปยัง 96

$$x=\frac{48}{8}$$

หาร 48 ด้วย 8

$$x=6$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-48±96}{8} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 96 จาก -48

$$x=-\frac{144}{8}$$

หาร -144 ด้วย 8

$$x=-18$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=6 x=-18$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 4

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

รากที่สองของ \sqrt{3} คือ 3

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

คูณ 16 และ 3 เพื่อรับ 48

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

ตัด 2 ตัวหารร่วมมากใน 8 และ 2

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

เมื่อต้องการยกกำลัง \frac{x\sqrt{3}}{2} ให้ยกกำลังทั้งตัวเศษและตัวส่วนแล้วหาร

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน คูณ 48 ด้วย \frac{2^{2}}{2^{2}}

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

เนื่องจาก \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} และ \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้เพิ่มโดยการบวกตัวเศษ

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

คำนวณ 2 กำลังของ 2 และรับ 4

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

คูณ 48 และ 4 เพื่อรับ 192

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

ขยาย \left(x\sqrt{3}\right)^{2}

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

รากที่สองของ \sqrt{3} คือ 3

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

คำนวณ 2 กำลังของ 2 และรับ 4

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

แสดง 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} เป็นเศษส่วนเดียวกัน

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

ตัด 4 และ 4

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

รากที่สองของ \sqrt{3} คือ 3

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

คูณ 16 และ 3 เพื่อรับ 48

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

รวม x^{2}\times 3 และ x^{2} เพื่อให้ได้รับ 4x^{2}

$$192+4x^{2}+48x=624$$

ลบ 192 จากทั้งสองด้าน

$$4x^{2}+48x=624-192$$

ลบ 192 จาก 624 เพื่อรับ 432

$$4x^{2}+48x=432$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{432}{4}$$

หารด้วย 4 เลิกทำการคูณด้วย 4

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{432}{4}$$

หาร 48 ด้วย 4

$$x^{2}+12x=\frac{432}{4}$$

หาร 432 ด้วย 4

$$x^{2}+12x=108$$

หาร 12 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ 6 จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ 6 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+12x+6^{2}=108+6^{2}$$

ยกกำลังสอง 6

$$x^{2}+12x+36=108+36$$

เพิ่ม 108 ไปยัง 36

$$x^{2}+12x+36=144$$

ตัวประกอบ x^{2}+12x+36 โดยทั่วไป เมื่อ x^{2}+bx+c เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ได้เสมอ

$$\left(x+6\right)^{2}=144$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{144}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+6=12 x+6=-12$$

ลบ 6 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=6 x=-18$$