แก้โจทย์ (3125t^125)^frac{1{3}}

$$( 3125 t ^ { 125 } ) ^ { \frac { 1 } { 3 } }$$

หาค่า

$$5^{\frac{5}{3}}t^{\frac{125}{3}}$$

ขั้นตอนสำหรับการเพิ่มกำลังเป็นกำลังอื่น

ใช้กฎของเลขชี้กำลังเพื่อทำนิพจน์

$$\sqrt[3]{3125t^{125}}$$

เมื่อต้องการเพิ่มผลคูณของสองจำนวนขึ้นไปไปยังกำลัง ยกกำลังแต่ละจำนวน แล้วหาผลคูณ

$$\sqrt[3]{3125}\sqrt[3]{t^{125}}$$

ยก 3125 ไปยังกำลัง \frac{1}{3}

$$5\times 5^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{t^{125}}$$

เมื่อต้องการยกกำลังจำนวนยกกำลังอื่น ให้คูณเลขชี้กำลังด้วยกัน

$$5\times 5^{\frac{2}{3}}t^{125\times \frac{1}{3}}$$

คูณ 125 ด้วย \frac{1}{3}

$$5\times 5^{\frac{2}{3}}t^{\frac{125}{3}}$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. t

$$\frac{625\times 5^{\frac{2}{3}}t^{\frac{122}{3}}}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้กฎลูกโซ่

ถ้า F เป็นส่วนประกอบของสองฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ f\left(u\right) และ u=g\left(x\right) นั่นคือ ถ้า F\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right) ดังนั้น อนุพันธ์ของ F คืออนุพันธ์ของ f ที่สอดคล้องกับ u คูณด้วยอนุพันธ์ของ g ที่สอดคล้องกับ x นั่นคือ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(F)\left(x\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)\left(g\left(x\right)\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(g)\left(x\right)

$$\frac{1}{3}\times \left(3125t^{125}\right)^{\frac{1}{3}-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(3125t^{125})$$

อนุพันธ์ของพหุนามเป็นผลรวมของอนุพันธ์ของพจน์ในพหุนามนั้น อนุพันธ์ของพจน์คงตัวใดๆ คือ 0 อนุพันธ์ของ ax^{n} คือ nax^{n-1}

$$\frac{1}{3}\times \left(3125t^{125}\right)^{-\frac{2}{3}}\times 125\times 3125t^{125-1}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{390625}{3}t^{124}\times \left(3125t^{125}\right)^{-\frac{2}{3}}$$