แก้โจทย์ (23-x)^2+x^2=17^2

$$( 23 - x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 17 ^ { 2 }$$

หาค่า x

$$x=8$$

$$x=15$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(23-x\right)^{2}

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

รวม x^{2} และ x^{2} เพื่อให้ได้รับ 2x^{2}

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

คำนวณ 17 กำลังของ 2 และรับ 289

$$529-46x+2x^{2}=289$$

ลบ 289 จากทั้งสองด้าน

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

ลบ 289 จาก 529 เพื่อรับ 240

$$240-46x+2x^{2}=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$120-23x+x^{2}=0$$

จัดเรียงพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน วางตามลำดับจากดีกรีที่มากที่สุดไปหาน้อยที่สุด

$$x^{2}-23x+120=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น x^{2}+ax+bx+120 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-23 ab=1\times 120=120$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบ a และ b เป็นค่าลบทั้งคู่ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 120

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -23

$$a=-15 b=-8$$

เขียน x^{2}-23x+120 ใหม่เป็น \left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)$$

แยกตัวประกอบ x ในกลุ่มแรกและ -8 ใน

$$x\left(x-15\right)-8\left(x-15\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม x-15 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(x-15\right)\left(x-8\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข x-15=0 และ x-8=0

$$x=15 x=8$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(23-x\right)^{2}

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

รวม x^{2} และ x^{2} เพื่อให้ได้รับ 2x^{2}

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

คำนวณ 17 กำลังของ 2 และรับ 289

$$529-46x+2x^{2}=289$$

ลบ 289 จากทั้งสองด้าน

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

ลบ 289 จาก 529 เพื่อรับ 240

$$240-46x+2x^{2}=0$$

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$2x^{2}-46x+240=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 2 แทน a, -46 แทน b และ 240 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

ยกกำลังสอง -46

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

คูณ -4 ด้วย 2

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-8\times 240}}{2\times 2}$$

คูณ -8 ด้วย 240

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-1920}}{2\times 2}$$

เพิ่ม 2116 ไปยัง -1920

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

หารากที่สองของ 196

$$x=\frac{-\left(-46\right)±14}{2\times 2}$$

ตรงข้ามกับ -46 คือ 46

$$x=\frac{46±14}{2\times 2}$$

คูณ 2 ด้วย 2

$$x=\frac{46±14}{4}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{46±14}{4} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 46 ไปยัง 14

$$x=\frac{60}{4}$$

หาร 60 ด้วย 4

$$x=15$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{46±14}{4} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 14 จาก 46

$$x=\frac{32}{4}$$

หาร 32 ด้วย 4

$$x=8$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=15 x=8$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(23-x\right)^{2}

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

รวม x^{2} และ x^{2} เพื่อให้ได้รับ 2x^{2}

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

คำนวณ 17 กำลังของ 2 และรับ 289

$$529-46x+2x^{2}=289$$

ลบ 529 จากทั้งสองด้าน

$$-46x+2x^{2}=289-529$$

ลบ 529 จาก 289 เพื่อรับ -240

$$-46x+2x^{2}=-240$$

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$2x^{2}-46x=-240$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$\frac{2x^{2}-46x}{2}=-\frac{240}{2}$$

หารด้วย 2 เลิกทำการคูณด้วย 2

$$x^{2}+\left(-\frac{46}{2}\right)x=-\frac{240}{2}$$

หาร -46 ด้วย 2

$$x^{2}-23x=-\frac{240}{2}$$

หาร -240 ด้วย 2

$$x^{2}-23x=-120$$

หาร -23 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{23}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{23}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{23}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-120+\frac{529}{4}$$

เพิ่ม -120 ไปยัง \frac{529}{4}

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{49}{4}$$

ตัวประกอบx^{2}-23x+\frac{529}{4} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{23}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{7}{2}$$

เพิ่ม \frac{23}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=15 x=8$$