แก้โจทย์ (22+51x-10x^2)_{max}

$$( 22 + 51 x - 10 x ^ { 2 } ) _ { \max }$$

แยกตัวประกอบ

$$-\left(2x-11\right)\left(5x+2\right)$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

จัดเรียงพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน วางตามลำดับจากดีกรีที่มากที่สุดไปหาน้อยที่สุด

$$-10x^{2}+51x+22$$

แยกตัวประกอบนิพจน์โดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกนิพจน์จำเป็นต้องถูกเขียนใหม่เป็น -10x^{2}+ax+bx+22 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=51 ab=-10\times 22=-220$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นบวกจำนวนบวกมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจุดลบ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -220

$$-1,220 -2,110 -4,55 -5,44 -10,22 -11,20$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1+220=219 -2+110=108 -4+55=51 -5+44=39 -10+22=12 -11+20=9$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม 51

$$a=55 b=-4$$

เขียน -10x^{2}+51x+22 ใหม่เป็น \left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right)

$$\left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right)$$

แยกตัวประกอบ -5x ในกลุ่มแรกและ -2 ใน

$$-5x\left(2x-11\right)-2\left(2x-11\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม 2x-11 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(2x-11\right)\left(-5x-2\right)$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการพหุนามกำลังสองสามารถแยกตัวประกอบโดยใช้การแปลง ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) ที่ x_{1} และ x_{2} เป็นผลเฉลยของสมการกำลังสอง ax^{2}+bx+c=0

$$-10x^{2}+51x+22=0$$

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

ยกกำลังสอง 51

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

คูณ -4 ด้วย -10

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+40\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

คูณ 40 ด้วย 22

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+880}}{2\left(-10\right)}$$

เพิ่ม 2601 ไปยัง 880

$$x=\frac{-51±\sqrt{3481}}{2\left(-10\right)}$$

หารากที่สองของ 3481

$$x=\frac{-51±59}{2\left(-10\right)}$$

คูณ 2 ด้วย -10

$$x=\frac{-51±59}{-20}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-51±59}{-20} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -51 ไปยัง 59

$$x=\frac{8}{-20}$$

ทำเศษส่วน \frac{8}{-20} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 4

$$x=-\frac{2}{5}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-51±59}{-20} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 59 จาก -51

$$x=-\frac{110}{-20}$$

ทำเศษส่วน \frac{-110}{-20} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 10

$$x=\frac{11}{2}$$

แยกตัวประกอบนิพจน์เดิมด้วย ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) ลบ -\frac{2}{5} สำหรับ x_{1} และ \frac{11}{2} สำหรับ x_{2}

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

ทำนิพจน์ทั้งหมดของฟอร์ม p-\left(-q\right) เป็น p+q

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x+\frac{2}{5}\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

เพิ่ม \frac{2}{5} ไปยัง x ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

ลบ \frac{11}{2} จาก x โดยการค้นหาตัวหารร่วมและลบเศษออก แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\times \frac{-2x+11}{-2}$$

คูณ \frac{-5x-2}{-5} ครั้ง \frac{-2x+11}{-2} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{-5\left(-2\right)}$$

คูณ -5 ด้วย -2

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{10}$$

ยกเลิกการหาตัวหารร่วม 10 ใน -10 และ 10

$$-10x^{2}+51x+22=-\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)$$

หาค่า

$$22+51x-10x^{2}$$