แก้โจทย์ (2x-3)^2-(x+5)^2=-23

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - ( x + 5 ) ^ { 2 } = - 23$$

หาค่า x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$x=7$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(2x-3\right)^{2}

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x+5\right)^{2}

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ x^{2}+10x+25 ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

รวม 4x^{2} และ -x^{2} เพื่อให้ได้รับ 3x^{2}

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

รวม -12x และ -10x เพื่อให้ได้รับ -22x

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

ลบ 25 จาก 9 เพื่อรับ -16

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

เพิ่ม 23 ไปทั้งสองด้าน

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

เพิ่ม -16 และ 23 เพื่อให้ได้รับ 7

$$3x^{2}-22x+7=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 3x^{2}+ax+bx+7 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-22 ab=3\times 7=21$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบ a และ b เป็นค่าลบทั้งคู่ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 21

$$-1,-21 -3,-7$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -22

$$a=-21 b=-1$$

เขียน 3x^{2}-22x+7 ใหม่เป็น \left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)$$

แยกตัวประกอบ 3x ในกลุ่มแรกและ -1 ใน

$$3x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม x-7 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข x-7=0 และ 3x-1=0

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(2x-3\right)^{2}

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x+5\right)^{2}

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ x^{2}+10x+25 ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

รวม 4x^{2} และ -x^{2} เพื่อให้ได้รับ 3x^{2}

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

รวม -12x และ -10x เพื่อให้ได้รับ -22x

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

ลบ 25 จาก 9 เพื่อรับ -16

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

เพิ่ม 23 ไปทั้งสองด้าน

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

เพิ่ม -16 และ 23 เพื่อให้ได้รับ 7

$$3x^{2}-22x+7=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 3 แทน a, -22 แทน b และ 7 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

ยกกำลังสอง -22

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

คูณ -4 ด้วย 3

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-12\times 7}}{2\times 3}$$

คูณ -12 ด้วย 7

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-84}}{2\times 3}$$

เพิ่ม 484 ไปยัง -84

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

หารากที่สองของ 400

$$x=\frac{-\left(-22\right)±20}{2\times 3}$$

ตรงข้ามกับ -22 คือ 22

$$x=\frac{22±20}{2\times 3}$$

คูณ 2 ด้วย 3

$$x=\frac{22±20}{6}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{22±20}{6} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 22 ไปยัง 20

$$x=\frac{42}{6}$$

หาร 42 ด้วย 6

$$x=7$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{22±20}{6} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 20 จาก 22

$$x=\frac{2}{6}$$

ทำเศษส่วน \frac{2}{6} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$x=\frac{1}{3}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(2x-3\right)^{2}

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x+5\right)^{2}

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ x^{2}+10x+25 ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

รวม 4x^{2} และ -x^{2} เพื่อให้ได้รับ 3x^{2}

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

รวม -12x และ -10x เพื่อให้ได้รับ -22x

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

ลบ 25 จาก 9 เพื่อรับ -16

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

เพิ่ม 16 ไปทั้งสองด้าน

$$3x^{2}-22x=-23+16$$

เพิ่ม -23 และ 16 เพื่อให้ได้รับ -7

$$3x^{2}-22x=-7$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$\frac{3x^{2}-22x}{3}=-\frac{7}{3}$$

หารด้วย 3 เลิกทำการคูณด้วย 3

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{7}{3}$$

หาร -\frac{22}{3} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{11}{3} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{11}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{11}{3} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{121}{9}$$

เพิ่ม -\frac{7}{3} ไปยัง \frac{121}{9} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=\frac{100}{9}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{11}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{10}{3}$$

เพิ่ม \frac{11}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$