แก้โจทย์ (2x-1)^3=-8

$$( 2 x - 1 ) ^ { 3 } = - 8$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$x=\frac{\sqrt{3}i}{2}+1\approx 1+0.866025404i$$

$$x=-\frac{\sqrt{3}i}{2}+1\approx 1-0.866025404i$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} เพื่อขยาย \left(2x-1\right)^{3}

$$8x^{3}-12x^{2}+6x-1=-8$$

เพิ่ม 8 ไปทั้งสองด้าน

$$8x^{3}-12x^{2}+6x-1+8=0$$

เพิ่ม -1 และ 8 เพื่อให้ได้รับ 7

$$8x^{3}-12x^{2}+6x+7=0$$

ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะทั้งหมดของพหุนามอยู่ในรูปแบบ \frac{p}{q} ที่ p หารพจน์ค่าคงที่ 7 และ q หารค่าสัมประสิทธิ์นำ 8 แสดงรายการผู้สมัคร \frac{p}{q} ทั้งหมด

$$±\frac{7}{8},±\frac{7}{4},±\frac{7}{2},±7,±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

ค้นหารากดังกล่าวหนึ่งรายการโดยลองใช้ค่าจำนวนเต็มทั้งหมด โดยเริ่มต้นจากค่าที่น้อยที่สุดตามค่าสัมบูรณ์ ถ้าไม่พบรากจำนวนเต็ม ให้ลองใช้เศษส่วน

$$x=-\frac{1}{2}$$

ตามทฤษฎีบทตัวประกอบ x-k เป็นตัวประกอบของพหุนามสำหรับแต่ละรากของ k หาร 8x^{3}-12x^{2}+6x+7 ด้วย 2\left(x+\frac{1}{2}\right)=2x+1 เพื่อรับ 4x^{2}-8x+7 แก้สมการที่ผลลัพธ์เท่ากับ 0

$$4x^{2}-8x+7=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 4 สำหรับ a -8 สำหรับ b และ 7 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

ทำการคำนวณ

$$x=\frac{8±\sqrt{-48}}{8}$$

แก้สมการ 4x^{2}-8x+7=0 เมื่อ ± เป็นบวก และเมื่อ ± เป็นลบ

$$x=-\frac{\sqrt{3}i}{2}+1 x=\frac{\sqrt{3}i}{2}+1$$

แสดงรายการโซลูชันที่พบทั้งหมด

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{3}i}{2}+1 x=\frac{\sqrt{3}i}{2}+1$$

หาค่า x

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} เพื่อขยาย \left(2x-1\right)^{3}

$$8x^{3}-12x^{2}+6x-1=-8$$

เพิ่ม 8 ไปทั้งสองด้าน

$$8x^{3}-12x^{2}+6x-1+8=0$$

เพิ่ม -1 และ 8 เพื่อให้ได้รับ 7

$$8x^{3}-12x^{2}+6x+7=0$$

ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะทั้งหมดของพหุนามอยู่ในรูปแบบ \frac{p}{q} ที่ p หารพจน์ค่าคงที่ 7 และ q หารค่าสัมประสิทธิ์นำ 8 แสดงรายการผู้สมัคร \frac{p}{q} ทั้งหมด

$$±\frac{7}{8},±\frac{7}{4},±\frac{7}{2},±7,±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

ค้นหารากดังกล่าวหนึ่งรายการโดยลองใช้ค่าจำนวนเต็มทั้งหมด โดยเริ่มต้นจากค่าที่น้อยที่สุดตามค่าสัมบูรณ์ ถ้าไม่พบรากจำนวนเต็ม ให้ลองใช้เศษส่วน

$$x=-\frac{1}{2}$$

ตามทฤษฎีบทตัวประกอบ x-k เป็นตัวประกอบของพหุนามสำหรับแต่ละรากของ k หาร 8x^{3}-12x^{2}+6x+7 ด้วย 2\left(x+\frac{1}{2}\right)=2x+1 เพื่อรับ 4x^{2}-8x+7 แก้สมการที่ผลลัพธ์เท่ากับ 0

$$4x^{2}-8x+7=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 4 สำหรับ a -8 สำหรับ b และ 7 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

ทำการคำนวณ

$$x=\frac{8±\sqrt{-48}}{8}$$

เนื่องจากไม่ได้กำหนดรากที่สองของจำนวนลบในเขตข้อมูลจำนวนจริง จึงไม่มีผลเฉลยอยู่

$$x\in \emptyset$$

แสดงรายการโซลูชันที่พบทั้งหมด

$$x=-\frac{1}{2}$$