แก้โจทย์ (2x+4)^2-5x(7-3x)(7+3x)-(3x-2)^2-40x^2=-205

$$( 2 x + 4 ) ^ { 2 } - 5 x ( 7 - 3 x ) ( 7 + 3 x ) - ( 3 x - 2 ) ^ { 2 } - 40 x ^ { 2 } = - 205$$

หาค่า x

$$x = \frac{\sqrt{1085}}{15} \approx 2.195955879$$

$$x = -\frac{\sqrt{1085}}{15} \approx -2.195955879$$

$$x=1$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(2x+4\right)^{2}

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(3x-2\right)^{2}-40x^{2}=-205$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(3x-2\right)^{2}

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(9x^{2}-12x+4\right)-40x^{2}=-205$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ 9x^{2}-12x+4 ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-9x^{2}+12x-4-40x^{2}=-205$$

รวม -9x^{2} และ -40x^{2} เพื่อให้ได้รับ -49x^{2}

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4=-205$$

เพิ่ม 205 ไปทั้งสองด้าน

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4+205=0$$

เพิ่ม -4 และ 205 เพื่อให้ได้รับ 201

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -5x ด้วย 7-3x

$$4x^{2}+16x+16+\left(-35x+15x^{2}\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -35x+15x^{2} ด้วย 7+3x และรวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$4x^{2}+16x+16-245x+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

รวม 16x และ -245x เพื่อให้ได้รับ -229x

$$4x^{2}-229x+16+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

รวม 4x^{2} และ -49x^{2} เพื่อให้ได้รับ -45x^{2}

$$-45x^{2}-229x+16+45x^{3}+12x+201=0$$

รวม -229x และ 12x เพื่อให้ได้รับ -217x

$$-45x^{2}-217x+16+45x^{3}+201=0$$

เพิ่ม 16 และ 201 เพื่อให้ได้รับ 217

$$-45x^{2}-217x+217+45x^{3}=0$$

จัดเรียงสมการเพื่อให้เป็นรูปมาตรฐาน เรียงพจน์ตามลำดับจากกำลังสูงสุดไปยังกำลังต่ำสุด

$$45x^{3}-45x^{2}-217x+217=0$$

ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะทั้งหมดของพหุนามอยู่ในรูปแบบ \frac{p}{q} ที่ p หารพจน์ค่าคงที่ 217 และ q หารค่าสัมประสิทธิ์นำ 45 แสดงรายการผู้สมัคร \frac{p}{q} ทั้งหมด

$$±\frac{217}{45},±\frac{217}{15},±\frac{217}{9},±\frac{217}{5},±\frac{217}{3},±217,±\frac{31}{45},±\frac{31}{15},±\frac{31}{9},±\frac{31}{5},±\frac{31}{3},±31,±\frac{7}{45},±\frac{7}{15},±\frac{7}{9},±\frac{7}{5},±\frac{7}{3},±7,±\frac{1}{45},±\frac{1}{15},±\frac{1}{9},±\frac{1}{5},±\frac{1}{3},±1$$

ค้นหารากดังกล่าวหนึ่งรายการโดยลองใช้ค่าจำนวนเต็มทั้งหมด โดยเริ่มต้นจากค่าที่น้อยที่สุดตามค่าสัมบูรณ์ ถ้าไม่พบรากจำนวนเต็ม ให้ลองใช้เศษส่วน

$$x=1$$

ตามทฤษฎีบทตัวประกอบ x-k เป็นตัวประกอบของพหุนามสำหรับแต่ละรากของ k หาร 45x^{3}-45x^{2}-217x+217 ด้วย x-1 เพื่อรับ 45x^{2}-217 แก้สมการที่ผลลัพธ์เท่ากับ 0

$$45x^{2}-217=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 45 สำหรับ a 0 สำหรับ b และ -217 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 45\left(-217\right)}}{2\times 45}$$

ทำการคำนวณ

$$x=\frac{0±6\sqrt{1085}}{90}$$

แก้สมการ 45x^{2}-217=0 เมื่อ ± เป็นบวก และเมื่อ ± เป็นลบ

$$x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$

แสดงรายการโซลูชันที่พบทั้งหมด

$$x=1 x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$