แก้โจทย์ (2+x)(3-x)=4sqrt{3}

$$( 2 + x ) ( 3 - x ) = 4 \sqrt { 3 }$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{-i\sqrt{16\sqrt{3}-25}+1}{2}\approx 0.5-0.823530953i$$

$$x=\frac{1+i\sqrt{16\sqrt{3}-25}}{2}\approx 0.5+0.823530953i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2+x ด้วย 3-x และรวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$6+x-x^{2}=4\sqrt{3}$$

ลบ 4\sqrt{3} จากทั้งสองด้าน

$$6+x-x^{2}-4\sqrt{3}=0$$

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$-x^{2}+x+6-4\sqrt{3}=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ -1 แทน a, 1 แทน b และ 6-4\sqrt{3} แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\left(6-4\sqrt{3}\right)}}{2\left(-1\right)}$$

ยกกำลังสอง 1

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(6-4\sqrt{3}\right)}}{2\left(-1\right)}$$

คูณ -4 ด้วย -1

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\left(6-4\sqrt{3}\right)}}{2\left(-1\right)}$$

คูณ 4 ด้วย 6-4\sqrt{3}

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+24-16\sqrt{3}}}{2\left(-1\right)}$$

เพิ่ม 1 ไปยัง 24-16\sqrt{3}

$$x=\frac{-1±\sqrt{25-16\sqrt{3}}}{2\left(-1\right)}$$

หารากที่สองของ 25-16\sqrt{3}

$$x=\frac{-1±i\sqrt{-\left(25-16\sqrt{3}\right)}}{2\left(-1\right)}$$

คูณ 2 ด้วย -1

$$x=\frac{-1±i\sqrt{-\left(25-16\sqrt{3}\right)}}{-2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-1±i\sqrt{-\left(25-16\sqrt{3}\right)}}{-2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -1 ไปยัง i\sqrt{-\left(25-16\sqrt{3}\right)}

$$x=\frac{-1+i\sqrt{16\sqrt{3}-25}}{-2}$$

หาร -1+i\sqrt{-25+16\sqrt{3}} ด้วย -2

$$x=\frac{-i\sqrt{16\sqrt{3}-25}+1}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-1±i\sqrt{-\left(25-16\sqrt{3}\right)}}{-2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ i\sqrt{-\left(25-16\sqrt{3}\right)} จาก -1

$$x=\frac{-i\sqrt{16\sqrt{3}-25}-1}{-2}$$

หาร -1-i\sqrt{-25+16\sqrt{3}} ด้วย -2

$$x=\frac{1+i\sqrt{16\sqrt{3}-25}}{2}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{-i\sqrt{16\sqrt{3}-25}+1}{2} x=\frac{1+i\sqrt{16\sqrt{3}-25}}{2}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2+x ด้วย 3-x และรวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$6+x-x^{2}=4\sqrt{3}$$

ลบ 6 จากทั้งสองด้าน

$$x-x^{2}=4\sqrt{3}-6$$

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$-x^{2}+x=4\sqrt{3}-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=\frac{4\sqrt{3}-6}{-1}$$

หารด้วย -1 เลิกทำการคูณด้วย -1

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=\frac{4\sqrt{3}-6}{-1}$$

หาร 1 ด้วย -1

$$x^{2}-x=\frac{4\sqrt{3}-6}{-1}$$

หาร 4\sqrt{3}-6 ด้วย -1

$$x^{2}-x=6-4\sqrt{3}$$

หาร -1 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{1}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{1}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=6-4\sqrt{3}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{1}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=6-4\sqrt{3}+\frac{1}{4}$$

เพิ่ม -4\sqrt{3}+6 ไปยัง \frac{1}{4}

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{25}{4}-4\sqrt{3}$$

ตัวประกอบx^{2}-x+\frac{1}{4} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}-4\sqrt{3}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}-4\sqrt{3}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{1}{2}=\frac{i\sqrt{-\left(25-16\sqrt{3}\right)}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{i\sqrt{16\sqrt{3}-25}}{2}$$

เพิ่ม \frac{1}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{1+i\sqrt{-\left(25-16\sqrt{3}\right)}}{2} x=\frac{-i\sqrt{16\sqrt{3}-25}+1}{2}$$