แก้โจทย์ (sqrt{5}-sqrt{3})(sqrt{5}+sqrt{3})-(sqrt{6}+sqrt{2})^2

$$( \sqrt { 5 } - \sqrt { 3 } ) ( \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } ) - ( \sqrt { 6 } + \sqrt { 2 } ) ^ { 2 }$$

หาค่า

$$-4\sqrt{3}-6\approx -12.92820323$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

พิจารณา \left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

รากที่สองของ \sqrt{5} คือ 5

$$5-\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

รากที่สองของ \sqrt{3} คือ 3

$$5-3-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

ลบ 3 จาก 5 เพื่อรับ 2

$$2-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}

$$2-\left(\left(\sqrt{6}\right)^{2}+2\sqrt{6}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

รากที่สองของ \sqrt{6} คือ 6

$$2-\left(6+2\sqrt{6}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

แยกตัวประกอบ 6=2\times 3 เขียนรากที่สองของผลิตภัณฑ์ \sqrt{2\times 3} เป็นผลคูณของตารางรากที่มีการ \sqrt{2}\sqrt{3}

$$2-\left(6+2\sqrt{2}\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

คูณ \sqrt{2} และ \sqrt{2} เพื่อรับ 2

$$2-\left(6+2\times 2\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

คูณ 2 และ 2 เพื่อรับ 4

$$2-\left(6+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

รากที่สองของ \sqrt{2} คือ 2

$$2-\left(6+4\sqrt{3}+2\right)$$

เพิ่ม 6 และ 2 เพื่อให้ได้รับ 8

$$2-\left(8+4\sqrt{3}\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ 8+4\sqrt{3} ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$2-8-4\sqrt{3}$$

ลบ 8 จาก 2 เพื่อรับ -6

$$-6-4\sqrt{3}$$