แก้โจทย์ (sqrt{-1}+sqrt{-2}-sqrt{-3})(sqrt{-1}-sqrt{-2}+sqrt{-3})

$$( \sqrt { - 1 } + \sqrt { - 2 } - \sqrt { - 3 } ) ( \sqrt { - 1 } - \sqrt { - 2 } + \sqrt { - 3 } )$$

หาค่า (complex solution)

$$4-2\sqrt{6}\approx -0.898979486$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

คำนวณรากที่สองของ -1 และได้ i

$$\left(i+\sqrt{-2}-\sqrt{-3}\right)\left(\sqrt{-1}-\sqrt{-2}+\sqrt{-3}\right)$$

แยกตัวประกอบ -2=2\left(-1\right) เขียนรากที่สองของผลิตภัณฑ์ \sqrt{2\left(-1\right)} เป็นผลคูณของตารางรากที่มีการ \sqrt{2}\sqrt{-1} ตามคำนิยาม รากที่สองของ -1 คือ i

$$\left(i+\sqrt{2}i-\sqrt{-3}\right)\left(\sqrt{-1}-\sqrt{-2}+\sqrt{-3}\right)$$

แยกตัวประกอบ -3=3\left(-1\right) เขียนรากที่สองของผลิตภัณฑ์ \sqrt{3\left(-1\right)} เป็นผลคูณของตารางรากที่มีการ \sqrt{3}\sqrt{-1} ตามคำนิยาม รากที่สองของ -1 คือ i

$$\left(i+\sqrt{2}i-\sqrt{3}i\right)\left(\sqrt{-1}-\sqrt{-2}+\sqrt{-3}\right)$$

คูณ -1 และ i เพื่อรับ -i

$$\left(i+\sqrt{2}i-i\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{-1}-\sqrt{-2}+\sqrt{-3}\right)$$

คำนวณรากที่สองของ -1 และได้ i

$$\left(i+\sqrt{2}i-i\sqrt{3}\right)\left(i-\sqrt{-2}+\sqrt{-3}\right)$$

แยกตัวประกอบ -2=2\left(-1\right) เขียนรากที่สองของผลิตภัณฑ์ \sqrt{2\left(-1\right)} เป็นผลคูณของตารางรากที่มีการ \sqrt{2}\sqrt{-1} ตามคำนิยาม รากที่สองของ -1 คือ i

$$\left(i+\sqrt{2}i-i\sqrt{3}\right)\left(i-\sqrt{2}i+\sqrt{-3}\right)$$

คูณ -1 และ i เพื่อรับ -i

$$\left(i+\sqrt{2}i-i\sqrt{3}\right)\left(i-i\sqrt{2}+\sqrt{-3}\right)$$

แยกตัวประกอบ -3=3\left(-1\right) เขียนรากที่สองของผลิตภัณฑ์ \sqrt{3\left(-1\right)} เป็นผลคูณของตารางรากที่มีการ \sqrt{3}\sqrt{-1} ตามคำนิยาม รากที่สองของ -1 คือ i

$$\left(i+\sqrt{2}i-i\sqrt{3}\right)\left(i-i\sqrt{2}+\sqrt{3}i\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจง โดยการคูณแต่ละพจน์ของ i+\sqrt{2}i-i\sqrt{3} กับแต่ละพจน์ของ i-i\sqrt{2}+\sqrt{3}i

$$-1+\sqrt{2}+i\sqrt{3}i+i\sqrt{2}i+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\sqrt{3}\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

คูณ i และ i เพื่อรับ -1

$$-1+\sqrt{2}-\sqrt{3}+i\sqrt{2}i+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\sqrt{3}\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

คูณ i และ i เพื่อรับ -1

$$-1+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\sqrt{3}\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

รวม \sqrt{2} และ -\sqrt{2} เพื่อให้ได้รับ 0

$$-1-\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\sqrt{3}\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

รากที่สองของ \sqrt{2} คือ 2

$$-1-\sqrt{3}+2-\sqrt{3}\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

เพิ่ม -1 และ 2 เพื่อให้ได้รับ 1

$$1-\sqrt{3}-\sqrt{3}\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

เมื่อต้องการคูณ \sqrt{3} และ \sqrt{2} ให้คูณตัวเลขภายใต้รากที่สอง

$$1-\sqrt{3}-\sqrt{6}+\sqrt{3}-\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

รวม -\sqrt{3} และ \sqrt{3} เพื่อให้ได้รับ 0

$$1-\sqrt{6}-\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

เมื่อต้องการคูณ \sqrt{3} และ \sqrt{2} ให้คูณตัวเลขภายใต้รากที่สอง

$$1-\sqrt{6}-\sqrt{6}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

รวม -\sqrt{6} และ -\sqrt{6} เพื่อให้ได้รับ -2\sqrt{6}

$$1-2\sqrt{6}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

รากที่สองของ \sqrt{3} คือ 3

$$1-2\sqrt{6}+3$$

เพิ่ม 1 และ 3 เพื่อให้ได้รับ 4

$$4-2\sqrt{6}$$

จำนวนจริง (complex solution)

$$4-2\sqrt{6}$$

หาค่า

$$\text{Indeterminate}$$