แก้โจทย์ (6/25+x)^2x=32

$$( \frac { 6 } { 25 + x } ) ^ { 2 } x = 32$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16}\approx -24.4375-5.273385416i$$

$$x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16}\approx -24.4375+5.273385416i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

เมื่อต้องการยกกำลัง \frac{6}{25+x} ให้ยกกำลังทั้งตัวเศษและตัวส่วนแล้วหาร

$$\frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x=32$$

แสดง \frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x เป็นเศษส่วนเดียวกัน

$$\frac{6^{2}x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

คำนวณ 6 กำลังของ 2 และรับ 36

$$\frac{36x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(25+x\right)^{2}

$$\frac{36x}{625+50x+x^{2}}=32$$

ลบ 32 จากทั้งสองด้าน

$$\frac{36x}{625+50x+x^{2}}-32=0$$

แยกตัวประกอบ 625+50x+x^{2}

$$\frac{36x}{\left(x+25\right)^{2}}-32=0$$

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน คูณ 32 ด้วย \frac{\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}}

$$\frac{36x}{\left(x+25\right)^{2}}-\frac{32\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

เนื่องจาก \frac{36x}{\left(x+25\right)^{2}} และ \frac{32\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้ลบโดยการลบตัวเศษ

$$\frac{36x-32\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

ทำการคูณใน 36x-32\left(x+25\right)^{2}

$$\frac{36x-32x^{2}-1600x-20000}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

รวมพจน์ที่เหมือนกันใน 36x-32x^{2}-1600x-20000

$$\frac{-1564x-32x^{2}-20000}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับ -25 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย \left(x+25\right)^{2}

$$-1564x-32x^{2}-20000=0$$

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$-32x^{2}-1564x-20000=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ -32 แทน a, -1564 แทน b และ -20000 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{\left(-1564\right)^{2}-4\left(-32\right)\left(-20000\right)}}{2\left(-32\right)}$$

ยกกำลังสอง -1564

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{2446096-4\left(-32\right)\left(-20000\right)}}{2\left(-32\right)}$$

คูณ -4 ด้วย -32

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{2446096+128\left(-20000\right)}}{2\left(-32\right)}$$

คูณ 128 ด้วย -20000

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{2446096-2560000}}{2\left(-32\right)}$$

เพิ่ม 2446096 ไปยัง -2560000

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{-113904}}{2\left(-32\right)}$$

หารากที่สองของ -113904

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±12\sqrt{791}i}{2\left(-32\right)}$$

ตรงข้ามกับ -1564 คือ 1564

$$x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{2\left(-32\right)}$$

คูณ 2 ด้วย -32

$$x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{-64}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{-64} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 1564 ไปยัง 12i\sqrt{791}

$$x=\frac{1564+12\sqrt{791}i}{-64}$$

หาร 1564+12i\sqrt{791} ด้วย -64

$$x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{-64} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 12i\sqrt{791} จาก 1564

$$x=\frac{-12\sqrt{791}i+1564}{-64}$$

หาร 1564-12i\sqrt{791} ด้วย -64

$$x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16} x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

เมื่อต้องการยกกำลัง \frac{6}{25+x} ให้ยกกำลังทั้งตัวเศษและตัวส่วนแล้วหาร

$$\frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x=32$$

แสดง \frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x เป็นเศษส่วนเดียวกัน

$$\frac{6^{2}x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

คำนวณ 6 กำลังของ 2 และรับ 36

$$\frac{36x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(25+x\right)^{2}

$$\frac{36x}{625+50x+x^{2}}=32$$

ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับ -25 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย \left(x+25\right)^{2}

$$36x=32\left(x+25\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x+25\right)^{2}

$$36x=32\left(x^{2}+50x+625\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 32 ด้วย x^{2}+50x+625

$$36x=32x^{2}+1600x+20000$$

ลบ 32x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$36x-32x^{2}=1600x+20000$$

ลบ 1600x จากทั้งสองด้าน

$$36x-32x^{2}-1600x=20000$$

รวม 36x และ -1600x เพื่อให้ได้รับ -1564x

$$-1564x-32x^{2}=20000$$

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$-32x^{2}-1564x=20000$$

หารทั้งสองข้างด้วย -32

$$\frac{-32x^{2}-1564x}{-32}=\frac{20000}{-32}$$

หารด้วย -32 เลิกทำการคูณด้วย -32

$$x^{2}+\left(-\frac{1564}{-32}\right)x=\frac{20000}{-32}$$

ทำเศษส่วน \frac{-1564}{-32} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 4

$$x^{2}+\frac{391}{8}x=\frac{20000}{-32}$$

หาร 20000 ด้วย -32

$$x^{2}+\frac{391}{8}x=-625$$

หาร \frac{391}{8} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{391}{16} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{391}{16} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\frac{391}{8}x+\left(\frac{391}{16}\right)^{2}=-625+\left(\frac{391}{16}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{391}{16} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+\frac{391}{8}x+\frac{152881}{256}=-625+\frac{152881}{256}$$

เพิ่ม -625 ไปยัง \frac{152881}{256}

$$x^{2}+\frac{391}{8}x+\frac{152881}{256}=-\frac{7119}{256}$$

ตัวประกอบx^{2}+\frac{391}{8}x+\frac{152881}{256} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{391}{16}\right)^{2}=-\frac{7119}{256}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{391}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7119}{256}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{391}{16}=\frac{3\sqrt{791}i}{16} x+\frac{391}{16}=-\frac{3\sqrt{791}i}{16}$$

ลบ \frac{391}{16} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16} x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16}$$