แก้โจทย์ (1/sqrt{5-sqrt{2}}+1/sqrt{5+sqrt{4}})^2

$$( \frac { 1 } { \sqrt { 5 } - \sqrt { 2 } } + \frac { 1 } { \sqrt { 5 } + \sqrt { 4 } } ) ^ { 2 }$$

หาค่า

$$\frac{8\sqrt{10}}{9}-\frac{4\sqrt{2}}{3}-\frac{16\sqrt{5}}{3}+\frac{118}{9}\approx 2.110710624$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลยสั้นๆ

ทำตัวส่วนของ \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} ด้วยการคูณเศษและตัวส่วนด้วย \sqrt{5}+\sqrt{2}

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}\right)^{2}$$

พิจารณา \left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \sqrt{5} ยกกำลังสอง \sqrt{2}

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{5-2}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}\right)^{2}$$

ลบ 2 จาก 5 เพื่อรับ 3

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}\right)^{2}$$

คำนวณรากที่สองของ 4 และได้ 2

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{\sqrt{5}+2}\right)^{2}$$

ทำตัวส่วนของ \frac{1}{\sqrt{5}+2} ด้วยการคูณเศษและตัวส่วนด้วย \sqrt{5}-2

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{5}-2}{\left(\sqrt{5}+2\right)\left(\sqrt{5}-2\right)}\right)^{2}$$

พิจารณา \left(\sqrt{5}+2\right)\left(\sqrt{5}-2\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{5}-2}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-2^{2}}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \sqrt{5} ยกกำลังสอง 2

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{5}-2}{5-4}\right)^{2}$$

ลบ 4 จาก 5 เพื่อรับ 1

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{5}-2}{1}\right)^{2}$$

สิ่งใดก็ตามที่หารด้วยหนึ่งจะได้ตัวเอง

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}+\sqrt{5}-2\right)^{2}$$

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน คูณ \sqrt{5}-2 ด้วย \frac{3}{3}

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}+\frac{3\left(\sqrt{5}-2\right)}{3}\right)^{2}$$

เนื่องจาก \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3} และ \frac{3\left(\sqrt{5}-2\right)}{3} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้เพิ่มโดยการบวกตัวเศษ

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}+3\left(\sqrt{5}-2\right)}{3}\right)^{2}$$

ทำการคูณใน \sqrt{5}+\sqrt{2}+3\left(\sqrt{5}-2\right)

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}+3\sqrt{5}-6}{3}\right)^{2}$$

ทำการคำนวณใน \sqrt{5}+\sqrt{2}+3\sqrt{5}-6

$$\left(\frac{4\sqrt{5}+\sqrt{2}-6}{3}\right)^{2}$$

เมื่อต้องการยกกำลัง \frac{4\sqrt{5}+\sqrt{2}-6}{3} ให้ยกกำลังทั้งตัวเศษและตัวส่วนแล้วหาร

$$\frac{\left(4\sqrt{5}+\sqrt{2}-6\right)^{2}}{3^{2}}$$

ยกกำลังสอง 4\sqrt{5}+\sqrt{2}-6

$$\frac{8\sqrt{2}\sqrt{5}+16\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-48\sqrt{5}-12\sqrt{2}+36}{3^{2}}$$

เมื่อต้องการคูณ \sqrt{2} และ \sqrt{5} ให้คูณตัวเลขภายใต้รากที่สอง

$$\frac{8\sqrt{10}+16\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-48\sqrt{5}-12\sqrt{2}+36}{3^{2}}$$

รากที่สองของ \sqrt{5} คือ 5

$$\frac{8\sqrt{10}+16\times 5+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-48\sqrt{5}-12\sqrt{2}+36}{3^{2}}$$

คูณ 16 และ 5 เพื่อรับ 80

$$\frac{8\sqrt{10}+80+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-48\sqrt{5}-12\sqrt{2}+36}{3^{2}}$$

รากที่สองของ \sqrt{2} คือ 2

$$\frac{8\sqrt{10}+80+2-48\sqrt{5}-12\sqrt{2}+36}{3^{2}}$$

เพิ่ม 80 และ 2 เพื่อให้ได้รับ 82

$$\frac{8\sqrt{10}+82-48\sqrt{5}-12\sqrt{2}+36}{3^{2}}$$

เพิ่ม 82 และ 36 เพื่อให้ได้รับ 118

$$\frac{8\sqrt{10}+118-48\sqrt{5}-12\sqrt{2}}{3^{2}}$$

คำนวณ 3 กำลังของ 2 และรับ 9

$$\frac{8\sqrt{10}+118-48\sqrt{5}-12\sqrt{2}}{9}$$

ขยาย

$$\frac{8 \sqrt{10}}{9} - \frac{4 \sqrt{2}}{3} - \frac{16 \sqrt{5}}{3} + \frac{118}{9} = 2.110710624$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลยสั้นๆ

ทำตัวส่วนของ \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} ด้วยการคูณเศษและตัวส่วนด้วย \sqrt{5}+\sqrt{2}

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}\right)^{2}$$

พิจารณา \left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \sqrt{5} ยกกำลังสอง \sqrt{2}

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{5-2}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}\right)^{2}$$

ลบ 2 จาก 5 เพื่อรับ 3

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}\right)^{2}$$

คำนวณรากที่สองของ 4 และได้ 2

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{\sqrt{5}+2}\right)^{2}$$

ทำตัวส่วนของ \frac{1}{\sqrt{5}+2} ด้วยการคูณเศษและตัวส่วนด้วย \sqrt{5}-2

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{5}-2}{\left(\sqrt{5}+2\right)\left(\sqrt{5}-2\right)}\right)^{2}$$

พิจารณา \left(\sqrt{5}+2\right)\left(\sqrt{5}-2\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{5}-2}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-2^{2}}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \sqrt{5} ยกกำลังสอง 2

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{5}-2}{5-4}\right)^{2}$$

ลบ 4 จาก 5 เพื่อรับ 1

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{5}-2}{1}\right)^{2}$$

สิ่งใดก็ตามที่หารด้วยหนึ่งจะได้ตัวเอง

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}+\sqrt{5}-2\right)^{2}$$

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน คูณ \sqrt{5}-2 ด้วย \frac{3}{3}

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}+\frac{3\left(\sqrt{5}-2\right)}{3}\right)^{2}$$

เนื่องจาก \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3} และ \frac{3\left(\sqrt{5}-2\right)}{3} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้เพิ่มโดยการบวกตัวเศษ

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}+3\left(\sqrt{5}-2\right)}{3}\right)^{2}$$

ทำการคูณใน \sqrt{5}+\sqrt{2}+3\left(\sqrt{5}-2\right)

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}+3\sqrt{5}-6}{3}\right)^{2}$$

ทำการคำนวณใน \sqrt{5}+\sqrt{2}+3\sqrt{5}-6

$$\left(\frac{4\sqrt{5}+\sqrt{2}-6}{3}\right)^{2}$$

เมื่อต้องการยกกำลัง \frac{4\sqrt{5}+\sqrt{2}-6}{3} ให้ยกกำลังทั้งตัวเศษและตัวส่วนแล้วหาร

$$\frac{\left(4\sqrt{5}+\sqrt{2}-6\right)^{2}}{3^{2}}$$

ยกกำลังสอง 4\sqrt{5}+\sqrt{2}-6

$$\frac{8\sqrt{2}\sqrt{5}+16\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-48\sqrt{5}-12\sqrt{2}+36}{3^{2}}$$

เมื่อต้องการคูณ \sqrt{2} และ \sqrt{5} ให้คูณตัวเลขภายใต้รากที่สอง

$$\frac{8\sqrt{10}+16\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-48\sqrt{5}-12\sqrt{2}+36}{3^{2}}$$

รากที่สองของ \sqrt{5} คือ 5

$$\frac{8\sqrt{10}+16\times 5+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-48\sqrt{5}-12\sqrt{2}+36}{3^{2}}$$

คูณ 16 และ 5 เพื่อรับ 80

$$\frac{8\sqrt{10}+80+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-48\sqrt{5}-12\sqrt{2}+36}{3^{2}}$$

รากที่สองของ \sqrt{2} คือ 2

$$\frac{8\sqrt{10}+80+2-48\sqrt{5}-12\sqrt{2}+36}{3^{2}}$$

เพิ่ม 80 และ 2 เพื่อให้ได้รับ 82

$$\frac{8\sqrt{10}+82-48\sqrt{5}-12\sqrt{2}+36}{3^{2}}$$

เพิ่ม 82 และ 36 เพื่อให้ได้รับ 118

$$\frac{8\sqrt{10}+118-48\sqrt{5}-12\sqrt{2}}{3^{2}}$$

คำนวณ 3 กำลังของ 2 และรับ 9

$$\frac{8\sqrt{10}+118-48\sqrt{5}-12\sqrt{2}}{9}$$