แก้โจทย์ (-r^4/64r^7)^frac{2{3}}

$$( \frac { - r ^ { 4 } } { 64 r ^ { 7 } } ) ^ { \frac { 2 } { 3 } }$$

หาค่า

$$\frac{1}{16r^{2}}$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

เมื่อต้องการยกกำลัง \frac{-r^{4}}{64r^{7}} ให้ยกกำลังทั้งตัวเศษและตัวส่วนแล้วหาร

$$\frac{\left(-r^{4}\right)^{\frac{2}{3}}}{\left(64r^{7}\right)^{\frac{2}{3}}}$$

ขยาย \left(64r^{7}\right)^{\frac{2}{3}}

$$\frac{\left(-r^{4}\right)^{\frac{2}{3}}}{64^{\frac{2}{3}}\left(r^{7}\right)^{\frac{2}{3}}}$$

เมื่อต้องการยกกำลังจำนวนยกกำลังอื่น ให้คูณเลขชี้กำลังด้วยกัน คูณ 7 กับ \frac{2}{3} ให้ได้ \frac{14}{3}

$$\frac{\left(-r^{4}\right)^{\frac{2}{3}}}{64^{\frac{2}{3}}r^{\frac{14}{3}}}$$

คำนวณ 64 กำลังของ \frac{2}{3} และรับ 16

$$\frac{\left(-r^{4}\right)^{\frac{2}{3}}}{16r^{\frac{14}{3}}}$$

ขยาย \left(-r^{4}\right)^{\frac{2}{3}}

$$\frac{\left(-1\right)^{\frac{2}{3}}\left(r^{4}\right)^{\frac{2}{3}}}{16r^{\frac{14}{3}}}$$

เมื่อต้องการยกกำลังจำนวนยกกำลังอื่น ให้คูณเลขชี้กำลังด้วยกัน คูณ 4 กับ \frac{2}{3} ให้ได้ \frac{8}{3}

$$\frac{\left(-1\right)^{\frac{2}{3}}r^{\frac{8}{3}}}{16r^{\frac{14}{3}}}$$

คำนวณ -1 กำลังของ \frac{2}{3} และรับ 1

$$\frac{1r^{\frac{8}{3}}}{16r^{\frac{14}{3}}}$$

ตัด r^{\frac{8}{3}} ออกจากทั้งตัวเศษและตัวส่วน

$$\frac{1}{16r^{2}}$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. r

$$-\frac{1}{8r^{3}}$$

ขั้นตอนที่ใช้กฎลูกโซ่

ถ้า F เป็นส่วนประกอบของสองฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ f\left(u\right) และ u=g\left(x\right) นั่นคือ ถ้า F\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right) ดังนั้น อนุพันธ์ของ F คืออนุพันธ์ของ f ที่สอดคล้องกับ u คูณด้วยอนุพันธ์ของ g ที่สอดคล้องกับ x นั่นคือ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(F)\left(x\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)\left(g\left(x\right)\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(g)\left(x\right)

$$\frac{2}{3}\times \left(\frac{-r^{4}}{64r^{7}}\right)^{\frac{2}{3}-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{-r^{4}}{64r^{7}})$$

สำหรับสองฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ อนุพันธ์ของผลหารของทั้งสองฟังก์ชันคือ ตัวส่วนคูณด้วยอนุพันธ์ของตัวเศษลบด้วยตัวเศษคูณด้วยอนุพันธ์ของตัวส่วน ทั้งหมดถูกหารด้วยตัวส่วนที่ยกกำลังสองแล้ว

$$\frac{\frac{2}{3}\times \left(\frac{-r^{4}}{64r^{7}}\right)^{\frac{2}{3}-1}\left(64r^{7}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(-r^{4})-\left(-r^{4}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(64r^{7})\right)\right)}{\left(64r^{7}\right)^{2}}$$

อนุพันธ์ของพหุนามเป็นผลรวมของอนุพันธ์ของพจน์ในพหุนามนั้น อนุพันธ์ของพจน์คงตัวใดๆ คือ 0 อนุพันธ์ของ ax^{n} คือ nax^{n-1}

$$\frac{\frac{2}{3}\times \left(\frac{-r^{4}}{64r^{7}}\right)^{\frac{2}{3}-1}\left(64r^{7}\times 4\left(-1\right)r^{4-1}-\left(-r^{4}\times 7\times 64r^{7-1}\right)\right)}{\left(64r^{7}\right)^{2}}$$

คูณ 64r^{7} ด้วย 4\left(-1\right)r^{4-1}

$$\frac{\frac{2}{3}\times \left(\frac{-r^{4}}{64r^{7}}\right)^{-\frac{1}{3}}\left(-256r^{7}r^{3}-\left(-r^{4}\times 7\times 64r^{7-1}\right)\right)}{\left(64r^{7}\right)^{2}}$$

คูณ -r^{4} ด้วย 7\times 64r^{7-1}

$$\frac{\frac{2}{3}\times \left(\frac{-r^{4}}{64r^{7}}\right)^{-\frac{1}{3}}\left(-256r^{10}-\left(-448r^{4}r^{6}\right)\right)}{\left(64r^{7}\right)^{2}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{\frac{2}{3}\times \left(\frac{-r^{4}}{64r^{7}}\right)^{-\frac{1}{3}}\left(-256r^{10}-\left(-448r^{10}\right)\right)}{\left(64r^{7}\right)^{2}}$$