แก้โจทย์ z^4-2z^2+3=0

$${ z }^{ 4 } -2 { z }^{ 2 } +3=0$$

หาค่า z

$$z=\sqrt[4]{3}e^{\frac{-\arctan(\sqrt{2})i+2\pi i}{2}}\approx -1.168770894+0.605000334i$$

$$z=\sqrt[4]{3}e^{-\frac{\arctan(\sqrt{2})i}{2}}\approx 1.168770894-0.605000334i$$

$$z=\sqrt[4]{3}e^{\frac{\arctan(\sqrt{2})i+2\pi i}{2}}\approx -1.168770894-0.605000334i$$

$$z=\sqrt[4]{3}e^{\frac{\arctan(\sqrt{2})i}{2}}\approx 1.168770894+0.605000334i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

แทนค่า t สำหรับ z^{2}

$$t^{2}-2t+3=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 1 สำหรับ a -2 สำหรับ b และ 3 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$t=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

ทำการคำนวณ

$$t=\frac{2±\sqrt{-8}}{2}$$

แก้สมการ t=\frac{2±\sqrt{-8}}{2} เมื่อ ± เป็นบวก และเมื่อ ± เป็นลบ

$$t=1+\sqrt{2}i t=-\sqrt{2}i+1$$

เนื่องจาก z=t^{2} ได้ผลเฉลยโดยการหาค่า z=±\sqrt{t} สำหรับแต่ละ t

$$z=\sqrt[4]{3}e^{\frac{\arctan(\sqrt{2})i+2\pi i}{2}} z=\sqrt[4]{3}e^{\frac{\arctan(\sqrt{2})i}{2}} z=\sqrt[4]{3}e^{-\frac{\arctan(\sqrt{2})i}{2}} z=\sqrt[4]{3}e^{\frac{-\arctan(\sqrt{2})i+2\pi i}{2}}$$