แก้โจทย์ z^2-25*10^-12z+16*10^-12=0

$${ z }^{ 2 } -25 \times { 10 }^{ -12 } z+16 \times { 10 }^{ -12 } = 0$$

หาค่า z

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{80000000000}\approx 1.25 \cdot 10^{-11}+0.000004i$$

$$z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{80000000000}\approx 1.25 \cdot 10^{-11}-0.000004i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{62500000000}=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 1 แทน a, -\frac{1}{40000000000} แทน b และ \frac{1}{62500000000} แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\sqrt{\left(-\frac{1}{40000000000}\right)^{2}-4\times \frac{1}{62500000000}}}{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{1}{40000000000} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\sqrt{\frac{1}{1600000000000000000000}-4\times \frac{1}{62500000000}}}{2}$$

คูณ -4 ด้วย \frac{1}{62500000000}

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\sqrt{\frac{1}{1600000000000000000000}-\frac{1}{15625000000}}}{2}$$

เพิ่ม \frac{1}{1600000000000000000000} ไปยัง -\frac{1}{15625000000} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\sqrt{-\frac{102399999999}{1600000000000000000000}}}{2}$$

หารากที่สองของ -\frac{102399999999}{1600000000000000000000}

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\frac{\sqrt{102399999999}i}{40000000000}}{2}$$

ตรงข้ามกับ -\frac{1}{40000000000} คือ \frac{1}{40000000000}

$$z=\frac{\frac{1}{40000000000}±\frac{\sqrt{102399999999}i}{40000000000}}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ z=\frac{\frac{1}{40000000000}±\frac{\sqrt{102399999999}i}{40000000000}}{2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม \frac{1}{40000000000} ไปยัง \frac{i\sqrt{102399999999}}{40000000000}

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{2\times 40000000000}$$

หาร \frac{1+i\sqrt{102399999999}}{40000000000} ด้วย 2

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{80000000000}$$

ตอนนี้ แก้สมการ z=\frac{\frac{1}{40000000000}±\frac{\sqrt{102399999999}i}{40000000000}}{2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ \frac{i\sqrt{102399999999}}{40000000000} จาก \frac{1}{40000000000}

$$z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{2\times 40000000000}$$

หาร \frac{1-i\sqrt{102399999999}}{40000000000} ด้วย 2

$$z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{80000000000}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{80000000000} z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{80000000000}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{62500000000}=0$$

ลบ \frac{1}{62500000000} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{62500000000}-\frac{1}{62500000000}=-\frac{1}{62500000000}$$

ลบ \frac{1}{62500000000} จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z=-\frac{1}{62500000000}$$

หาร -\frac{1}{40000000000} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{1}{80000000000} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{1}{80000000000} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\left(-\frac{1}{80000000000}\right)^{2}=-\frac{1}{62500000000}+\left(-\frac{1}{80000000000}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{1}{80000000000} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{6400000000000000000000}=-\frac{1}{62500000000}+\frac{1}{6400000000000000000000}$$

เพิ่ม -\frac{1}{62500000000} ไปยัง \frac{1}{6400000000000000000000} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{6400000000000000000000}=-\frac{102399999999}{6400000000000000000000}$$

ตัวประกอบz^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{6400000000000000000000} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(z-\frac{1}{80000000000}\right)^{2}=-\frac{102399999999}{6400000000000000000000}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{80000000000}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{102399999999}{6400000000000000000000}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$z-\frac{1}{80000000000}=\frac{\sqrt{102399999999}i}{80000000000} z-\frac{1}{80000000000}=-\frac{\sqrt{102399999999}i}{80000000000}$$

เพิ่ม \frac{1}{80000000000} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{80000000000} z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{80000000000}$$