แก้โจทย์ y^2-15y=-54

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

หาค่า y

$$y=6$$

$$y=9$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบ

เพิ่ม 54 ไปทั้งสองด้าน

$$y^{2}-15y+54=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการปัจจัย y^{2}-15y+54 โดยใช้สูตร y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-15 ab=54$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบ a และ b เป็นค่าลบทั้งคู่ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 54

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -15

$$a=-9 b=-6$$

เขียนนิพจน์แยกตัวประกอบใหม่ \left(y+a\right)\left(y+b\right) โดยใช้ค่าที่ได้รับ

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข y-9=0 และ y-6=0

$$y=9 y=6$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เพิ่ม 54 ไปทั้งสองด้าน

$$y^{2}-15y+54=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น y^{2}+ay+by+54 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบ a และ b เป็นค่าลบทั้งคู่ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 54

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -15

$$a=-9 b=-6$$

เขียน y^{2}-15y+54 ใหม่เป็น \left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

แยกตัวประกอบ y ในกลุ่มแรกและ -6 ใน

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม y-9 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข y-9=0 และ y-6=0

$$y=9 y=6$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$y^{2}-15y=-54$$

เพิ่ม 54 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

ลบ -54 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

ลบ -54 จาก 0

$$y^{2}-15y+54=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 1 แทน a, -15 แทน b และ 54 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

ยกกำลังสอง -15

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

คูณ -4 ด้วย 54

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

เพิ่ม 225 ไปยัง -216

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

หารากที่สองของ 9

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

ตรงข้ามกับ -15 คือ 15

$$y=\frac{15±3}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ y=\frac{15±3}{2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 15 ไปยัง 3

$$y=\frac{18}{2}$$

หาร 18 ด้วย 2

$$y=9$$

ตอนนี้ แก้สมการ y=\frac{15±3}{2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 3 จาก 15

$$y=\frac{12}{2}$$

หาร 12 ด้วย 2

$$y=6$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$y=9 y=6$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$y^{2}-15y=-54$$

หาร -15 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{15}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{15}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{15}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

เพิ่ม -54 ไปยัง \frac{225}{4}

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

ตัวประกอบy^{2}-15y+\frac{225}{4} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

เพิ่ม \frac{15}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=9 y=6$$