แก้โจทย์ x^4-4x^2+3

$${ x }^{ 4 } -4 { x }^{ 2 } +3$$

แยกตัวประกอบ

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^{2}-3\right)$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

เมื่อต้องการแยกตัวประกอบนิพจน์ ให้แก้สมการที่นิพจน์เท่ากับ 0

$$x^{4}-4x^{2}+3=0$$

ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะทั้งหมดของพหุนามอยู่ในรูปแบบ \frac{p}{q} ที่ p หารพจน์ค่าคงที่ 3 และ q หารค่าสัมประสิทธิ์นำ 1 แสดงรายการผู้สมัคร \frac{p}{q} ทั้งหมด

$$±3,±1$$

ค้นหารากดังกล่าวหนึ่งรายการโดยลองใช้ค่าจำนวนเต็มทั้งหมด โดยเริ่มต้นจากค่าที่น้อยที่สุดตามค่าสัมบูรณ์ ถ้าไม่พบรากจำนวนเต็ม ให้ลองใช้เศษส่วน

$$x=1$$

ตามทฤษฎีบทตัวประกอบ x-k เป็นตัวประกอบของพหุนามสำหรับแต่ละรากของ k หาร x^{4}-4x^{2}+3 ด้วย x-1 เพื่อรับ x^{3}+x^{2}-3x-3 เมื่อต้องการแยกตัวประกอบผลลัพธ์ ให้แก้ไขสมการที่มีค่าเท่ากับ 0

$$x^{3}+x^{2}-3x-3=0$$

ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะทั้งหมดของพหุนามอยู่ในรูปแบบ \frac{p}{q} ที่ p หารพจน์ค่าคงที่ -3 และ q หารค่าสัมประสิทธิ์นำ 1 แสดงรายการผู้สมัคร \frac{p}{q} ทั้งหมด

$$±3,±1$$

ค้นหารากดังกล่าวหนึ่งรายการโดยลองใช้ค่าจำนวนเต็มทั้งหมด โดยเริ่มต้นจากค่าที่น้อยที่สุดตามค่าสัมบูรณ์ ถ้าไม่พบรากจำนวนเต็ม ให้ลองใช้เศษส่วน

$$x=-1$$

ตามทฤษฎีบทตัวประกอบ x-k เป็นตัวประกอบของพหุนามสำหรับแต่ละรากของ k หาร x^{3}+x^{2}-3x-3 ด้วย x+1 เพื่อรับ x^{2}-3 เมื่อต้องการแยกตัวประกอบผลลัพธ์ ให้แก้ไขสมการที่มีค่าเท่ากับ 0

$$x^{2}-3=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 1 สำหรับ a 0 สำหรับ b และ -3 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-3\right)}}{2}$$

ทำการคำนวณ

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{2}$$

แก้สมการ x^{2}-3=0 เมื่อ ± เป็นบวก และเมื่อ ± เป็นลบ

$$x=-\sqrt{3} x=\sqrt{3}$$

เขียนนิพจน์ที่แยกตัวประกอบโดยใช้รากที่ได้รับใหม่ พหุนาม x^{2}-3 ไม่มีการแยกตัวประกอบเนื่องจากไม่มีรากตรรกยะ

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^{2}-3\right)$$

หาค่า

$$x^{4}-4x^{2}+3$$