แก้โจทย์ x^2-x-1=0

$${ x }^{ 2 } -x-1=0$$

หาค่า x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1.618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0.618033989$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$x^{2}-x-1=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 1 แทน a, -1 แทน b และ -1 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2}$$

คูณ -4 ด้วย -1

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4}}{2}$$

เพิ่ม 1 ไปยัง 4

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5}}{2}$$

ตรงข้ามกับ -1 คือ 1

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 1 ไปยัง \sqrt{5}

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ \sqrt{5} จาก 1

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$x^{2}-x-1=0$$

เพิ่ม 1 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

ลบ -1 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

ลบ -1 จาก 0

$$x^{2}-x=1$$

หาร -1 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{1}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{1}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{1}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

เพิ่ม 1 ไปยัง \frac{1}{4}

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

ตัวประกอบx^{2}-x+\frac{1}{4} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

เพิ่ม \frac{1}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$