แก้โจทย์ x^2-x-1>0

$${ x }^{ 2 } -x-1 > 0$$

หาค่า x

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\infty\right)$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

เมื่อต้องการแก้อสมการ ให้แยกตัวประกอบด้านซ้ายมือ สมการพหุนามกำลังสองสามารถแยกตัวประกอบโดยใช้การแปลง ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) ที่ x_{1} และ x_{2} เป็นผลเฉลยของสมการกำลังสอง ax^{2}+bx+c=0

$$x^{2}-x-1=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 1 สำหรับ a -1 สำหรับ b และ -1 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

ทำการคำนวณ

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

แก้สมการ x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} เมื่อ ± เป็นบวก และเมื่อ ± เป็นลบ

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

เขียนอสมการใหม่โดยใช้ผลเฉลยที่ได้

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)>0$$

เพื่อให้ผลคูณเป็นค่าบวก x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} และ x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} ต้องเป็นค่าลบทั้งคู่ หรือค่าบวกทั้งคู่ พิจารณากรณีเมื่อ x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} และ x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} เป็นค่าลบทั้งคู่

$$x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

ผลเฉลยที่แก้ไขอสมการทั้งสองคือ x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

พิจารณากรณีเมื่อ x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} และ x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} เป็นค่าบวกทั้งคู่

$$x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$$

ผลเฉลยที่แก้ไขอสมการทั้งสองคือ x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}

$$x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

ผลเฉลยสุดท้ายคือการรวมผลเฉลยที่ได้

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$