แก้โจทย์ x^2+x+1=0

$${ x }^{ 2 } +x+1 = 0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0.5+0.866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0.5-0.866025404i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$x^{2}+x+1=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 1 แทน a, 1 แทน b และ 1 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4}}{2}$$

ยกกำลังสอง 1

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4}}{2}$$

เพิ่ม 1 ไปยัง -4

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2}$$

หารากที่สองของ -3

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -1 ไปยัง i\sqrt{3}

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ i\sqrt{3} จาก -1

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$x^{2}+x+1=0$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x^{2}+x+1-1=-1$$

ลบ 1 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$x^{2}+x=-1$$

หาร 1 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{1}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{1}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{1}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

เพิ่ม -1 ไปยัง \frac{1}{4}

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

ตัวประกอบ x^{2}+x+\frac{1}{4} โดยทั่วไป เมื่อ x^{2}+bx+c เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

ลบ \frac{1}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$