แก้โจทย์ x^2+5x+9=0

$${ x }^{ 2 } +5x+9=0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{11}i}{2}\approx -2.5+1.658312395i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-5}{2}\approx -2.5-1.658312395i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$x^{2}+5x+9=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 1 แทน a, 5 แทน b และ 9 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 9}}{2}$$

ยกกำลังสอง 5

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 9}}{2}$$

คูณ -4 ด้วย 9

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-36}}{2}$$

เพิ่ม 25 ไปยัง -36

$$x=\frac{-5±\sqrt{-11}}{2}$$

หารากที่สองของ -11

$$x=\frac{-5±\sqrt{11}i}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-5±\sqrt{11}i}{2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -5 ไปยัง i\sqrt{11}

$$x=\frac{-5+\sqrt{11}i}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-5±\sqrt{11}i}{2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ i\sqrt{11} จาก -5

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-5}{2}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{-5+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i-5}{2}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$x^{2}+5x+9=0$$

ลบ 9 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x^{2}+5x+9-9=-9$$

ลบ 9 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$x^{2}+5x=-9$$

หาร 5 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{5}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{5}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-9+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{5}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-9+\frac{25}{4}$$

เพิ่ม -9 ไปยัง \frac{25}{4}

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{4}$$

ตัวประกอบx^{2}+5x+\frac{25}{4} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{11}i}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{11}i}{2}$$

ลบ \frac{5}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{-5+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i-5}{2}$$