แก้โจทย์ x^2+2x-1>0

$${ x }^{ 2 } +2x-1 > 0$$

หาค่า x

$$x\in \left(-\infty,-\sqrt{2}-1\right)\cup \left(\sqrt{2}-1,\infty\right)$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

เมื่อต้องการแก้อสมการ ให้แยกตัวประกอบด้านซ้ายมือ สมการพหุนามกำลังสองสามารถแยกตัวประกอบโดยใช้การแปลง ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) ที่ x_{1} และ x_{2} เป็นผลเฉลยของสมการกำลังสอง ax^{2}+bx+c=0

$$x^{2}+2x-1=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 1 สำหรับ a 2 สำหรับ b และ -1 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

ทำการคำนวณ

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2}$$

แก้สมการ x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2} เมื่อ ± เป็นบวก และเมื่อ ± เป็นลบ

$$x=\sqrt{2}-1 x=-\sqrt{2}-1$$

เขียนอสมการใหม่โดยใช้ผลเฉลยที่ได้

$$\left(x-\left(\sqrt{2}-1\right)\right)\left(x-\left(-\sqrt{2}-1\right)\right)>0$$

เพื่อให้ผลคูณเป็นค่าบวก x-\left(\sqrt{2}-1\right) และ x-\left(-\sqrt{2}-1\right) ต้องเป็นค่าลบทั้งคู่ หรือค่าบวกทั้งคู่ พิจารณากรณีเมื่อ x-\left(\sqrt{2}-1\right) และ x-\left(-\sqrt{2}-1\right) เป็นค่าลบทั้งคู่

$$x-\left(\sqrt{2}-1\right)<0 x-\left(-\sqrt{2}-1\right)<0$$

ผลเฉลยที่แก้ไขอสมการทั้งสองคือ x<-\left(\sqrt{2}+1\right)

$$x<-\left(\sqrt{2}+1\right)$$

พิจารณากรณีเมื่อ x-\left(\sqrt{2}-1\right) และ x-\left(-\sqrt{2}-1\right) เป็นค่าบวกทั้งคู่

$$x-\left(-\sqrt{2}-1\right)>0 x-\left(\sqrt{2}-1\right)>0$$

ผลเฉลยที่แก้ไขอสมการทั้งสองคือ x>\sqrt{2}-1

$$x>\sqrt{2}-1$$

ผลเฉลยสุดท้ายคือการรวมผลเฉลยที่ได้

$$x<-\sqrt{2}-1\text{; }x>\sqrt{2}-1$$