แก้โจทย์ n^3+n^2+n=1110

$${ n }^{ 3 } + { n }^{ 2 } +n = 1110$$

หาค่า n (complex solution)

$$n=\frac{-\sqrt{323}i-11}{2}\approx -5.5-8.986100378i$$

$$n=10$$

$$n=\frac{-11+\sqrt{323}i}{2}\approx -5.5+8.986100378i$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ลบ 1110 จากทั้งสองด้าน

$$n^{3}+n^{2}+n-1110=0$$

ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะทั้งหมดของพหุนามอยู่ในรูปแบบ \frac{p}{q} ที่ p หารพจน์ค่าคงที่ -1110 และ q หารค่าสัมประสิทธิ์นำ 1 แสดงรายการผู้สมัคร \frac{p}{q} ทั้งหมด

$$±1110,±555,±370,±222,±185,±111,±74,±37,±30,±15,±10,±6,±5,±3,±2,±1$$

ค้นหารากดังกล่าวหนึ่งรายการโดยลองใช้ค่าจำนวนเต็มทั้งหมด โดยเริ่มต้นจากค่าที่น้อยที่สุดตามค่าสัมบูรณ์ ถ้าไม่พบรากจำนวนเต็ม ให้ลองใช้เศษส่วน

$$n=10$$

ตามทฤษฎีบทตัวประกอบ n-k เป็นตัวประกอบของพหุนามสำหรับแต่ละรากของ k หาร n^{3}+n^{2}+n-1110 ด้วย n-10 เพื่อรับ n^{2}+11n+111 แก้สมการที่ผลลัพธ์เท่ากับ 0

$$n^{2}+11n+111=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 1 สำหรับ a 11 สำหรับ b และ 111 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$n=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 1\times 111}}{2}$$

ทำการคำนวณ

$$n=\frac{-11±\sqrt{-323}}{2}$$

แก้สมการ n^{2}+11n+111=0 เมื่อ ± เป็นบวก และเมื่อ ± เป็นลบ

$$n=\frac{-\sqrt{323}i-11}{2} n=\frac{-11+\sqrt{323}i}{2}$$

แสดงรายการโซลูชันที่พบทั้งหมด

$$n=10 n=\frac{-\sqrt{323}i-11}{2} n=\frac{-11+\sqrt{323}i}{2}$$

หาค่า n

$$n=10$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ลบ 1110 จากทั้งสองด้าน

$$n^{3}+n^{2}+n-1110=0$$

ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะทั้งหมดของพหุนามอยู่ในรูปแบบ \frac{p}{q} ที่ p หารพจน์ค่าคงที่ -1110 และ q หารค่าสัมประสิทธิ์นำ 1 แสดงรายการผู้สมัคร \frac{p}{q} ทั้งหมด

$$±1110,±555,±370,±222,±185,±111,±74,±37,±30,±15,±10,±6,±5,±3,±2,±1$$

ค้นหารากดังกล่าวหนึ่งรายการโดยลองใช้ค่าจำนวนเต็มทั้งหมด โดยเริ่มต้นจากค่าที่น้อยที่สุดตามค่าสัมบูรณ์ ถ้าไม่พบรากจำนวนเต็ม ให้ลองใช้เศษส่วน

$$n=10$$

ตามทฤษฎีบทตัวประกอบ n-k เป็นตัวประกอบของพหุนามสำหรับแต่ละรากของ k หาร n^{3}+n^{2}+n-1110 ด้วย n-10 เพื่อรับ n^{2}+11n+111 แก้สมการที่ผลลัพธ์เท่ากับ 0

$$n^{2}+11n+111=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 1 สำหรับ a 11 สำหรับ b และ 111 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$n=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 1\times 111}}{2}$$

ทำการคำนวณ

$$n=\frac{-11±\sqrt{-323}}{2}$$

เนื่องจากไม่ได้กำหนดรากที่สองของจำนวนลบในเขตข้อมูลจำนวนจริง จึงไม่มีผลเฉลยอยู่

$$n\in \emptyset$$

แสดงรายการโซลูชันที่พบทั้งหมด

$$n=10$$