แก้โจทย์ m^4+3m^2-4

$${ m }^{ 4 } +3 { m }^{ 2 } -4$$

แยกตัวประกอบ

$$\left(m-1\right)\left(m+1\right)\left(m^{2}+4\right)$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

เมื่อต้องการแยกตัวประกอบนิพจน์ ให้แก้สมการที่นิพจน์เท่ากับ 0

$$m^{4}+3m^{2}-4=0$$

ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะทั้งหมดของพหุนามอยู่ในรูปแบบ \frac{p}{q} ที่ p หารพจน์ค่าคงที่ -4 และ q หารค่าสัมประสิทธิ์นำ 1 แสดงรายการผู้สมัคร \frac{p}{q} ทั้งหมด

$$±4,±2,±1$$

ค้นหารากดังกล่าวหนึ่งรายการโดยลองใช้ค่าจำนวนเต็มทั้งหมด โดยเริ่มต้นจากค่าที่น้อยที่สุดตามค่าสัมบูรณ์ ถ้าไม่พบรากจำนวนเต็ม ให้ลองใช้เศษส่วน

$$m=1$$

ตามทฤษฎีบทตัวประกอบ m-k เป็นตัวประกอบของพหุนามสำหรับแต่ละรากของ k หาร m^{4}+3m^{2}-4 ด้วย m-1 เพื่อรับ m^{3}+m^{2}+4m+4 เมื่อต้องการแยกตัวประกอบผลลัพธ์ ให้แก้ไขสมการที่มีค่าเท่ากับ 0

$$m^{3}+m^{2}+4m+4=0$$

ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะทั้งหมดของพหุนามอยู่ในรูปแบบ \frac{p}{q} ที่ p หารพจน์ค่าคงที่ 4 และ q หารค่าสัมประสิทธิ์นำ 1 แสดงรายการผู้สมัคร \frac{p}{q} ทั้งหมด

$$±4,±2,±1$$

ค้นหารากดังกล่าวหนึ่งรายการโดยลองใช้ค่าจำนวนเต็มทั้งหมด โดยเริ่มต้นจากค่าที่น้อยที่สุดตามค่าสัมบูรณ์ ถ้าไม่พบรากจำนวนเต็ม ให้ลองใช้เศษส่วน

$$m=-1$$

ตามทฤษฎีบทตัวประกอบ m-k เป็นตัวประกอบของพหุนามสำหรับแต่ละรากของ k หาร m^{3}+m^{2}+4m+4 ด้วย m+1 เพื่อรับ m^{2}+4 เมื่อต้องการแยกตัวประกอบผลลัพธ์ ให้แก้ไขสมการที่มีค่าเท่ากับ 0

$$m^{2}+4=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 1 สำหรับ a 0 สำหรับ b และ 4 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$m=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

ทำการคำนวณ

$$m=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

พหุนาม m^{2}+4 ไม่มีการแยกตัวประกอบเนื่องจากไม่มีรากตรรกยะ

$$m^{2}+4$$

เขียนนิพจน์ที่แยกตัวประกอบโดยใช้รากที่ได้รับใหม่

$$\left(m-1\right)\left(m+1\right)\left(m^{2}+4\right)$$

หาค่า

$$m^{4}+3m^{2}-4$$