แก้โจทย์ {left(sqrt{2}+sqrt{5}right)}^2-{left(2+sqrt{10}right)}^2+sqrt{90}+left(2sqrt{2}-1right)left(2sqrt{2}+1right)

$${ \left( \sqrt{ 2 } + \sqrt{ 5 } \right) }^{ 2 } - { \left(2+ \sqrt{ 10 } \right) }^{ 2 } + \sqrt{ 90 } + \left( 2 \sqrt{ 2 } -1 \right) \left( 2 \sqrt{ 2 } +1 \right)$$

หาค่า

$$\sqrt{10}\approx 3.16227766$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)^{2}

$$\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2\sqrt{2}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

รากที่สองของ \sqrt{2} คือ 2

$$2+2\sqrt{2}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

เมื่อต้องการคูณ \sqrt{2} และ \sqrt{5} ให้คูณตัวเลขภายใต้รากที่สอง

$$2+2\sqrt{10}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

รากที่สองของ \sqrt{5} คือ 5

$$2+2\sqrt{10}+5-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

เพิ่ม 2 และ 5 เพื่อให้ได้รับ 7

$$7+2\sqrt{10}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(2+\sqrt{10}\right)^{2}

$$7+2\sqrt{10}-\left(4+4\sqrt{10}+\left(\sqrt{10}\right)^{2}\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

รากที่สองของ \sqrt{10} คือ 10

$$7+2\sqrt{10}-\left(4+4\sqrt{10}+10\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

เพิ่ม 4 และ 10 เพื่อให้ได้รับ 14

$$7+2\sqrt{10}-\left(14+4\sqrt{10}\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ 14+4\sqrt{10} ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$7+2\sqrt{10}-14-4\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

ลบ 14 จาก 7 เพื่อรับ -7

$$-7+2\sqrt{10}-4\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

รวม 2\sqrt{10} และ -4\sqrt{10} เพื่อให้ได้รับ -2\sqrt{10}

$$-7-2\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

แยกตัวประกอบ 90=3^{2}\times 10 เขียนรากที่สองของผลิตภัณฑ์ \sqrt{3^{2}\times 10} เป็นผลคูณของรากที่สอง \sqrt{3^{2}}\sqrt{10} หารากที่สองของ 3^{2}

$$-7-2\sqrt{10}+3\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

รวม -2\sqrt{10} และ 3\sqrt{10} เพื่อให้ได้รับ \sqrt{10}

$$-7+\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

พิจารณา \left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้ ยกกำลังสอง 1

$$-7+\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

ขยาย \left(2\sqrt{2}\right)^{2}

$$-7+\sqrt{10}+2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

คำนวณ 2 กำลังของ 2 และรับ 4

$$-7+\sqrt{10}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

รากที่สองของ \sqrt{2} คือ 2

$$-7+\sqrt{10}+4\times 2-1$$

คูณ 4 และ 2 เพื่อรับ 8

$$-7+\sqrt{10}+8-1$$

ลบ 1 จาก 8 เพื่อรับ 7

$$-7+\sqrt{10}+7$$

เพิ่ม -7 และ 7 เพื่อให้ได้รับ 0

$$\sqrt{10}$$