แก้โจทย์ {left(1/3-sqrt{2}right)}^2

$${ \left( \frac{ 1 }{ 3- \sqrt{ 2 } } \right) }^{ 2 }$$

หาค่า

$$\frac{6\sqrt{2}+11}{49}\approx 0.397658804$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ทำตัวส่วนของ \frac{1}{3-\sqrt{2}} ให้เป็นตรรกยะโดยการคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย 3+\sqrt{2}

$$\left(\frac{3+\sqrt{2}}{\left(3-\sqrt{2}\right)\left(3+\sqrt{2}\right)}\right)^{2}$$

พิจารณา \left(3-\sqrt{2}\right)\left(3+\sqrt{2}\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$\left(\frac{3+\sqrt{2}}{3^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง 3 ยกกำลังสอง \sqrt{2}

$$\left(\frac{3+\sqrt{2}}{9-2}\right)^{2}$$

ลบ 2 จาก 9 เพื่อรับ 7

$$\left(\frac{3+\sqrt{2}}{7}\right)^{2}$$

เมื่อต้องการยกกำลัง \frac{3+\sqrt{2}}{7} ให้ยกกำลังทั้งตัวเศษและตัวส่วนแล้วหาร

$$\frac{\left(3+\sqrt{2}\right)^{2}}{7^{2}}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(3+\sqrt{2}\right)^{2}

$$\frac{9+6\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{7^{2}}$$

รากที่สองของ \sqrt{2} คือ 2

$$\frac{9+6\sqrt{2}+2}{7^{2}}$$

เพิ่ม 9 และ 2 เพื่อให้ได้รับ 11

$$\frac{11+6\sqrt{2}}{7^{2}}$$

คำนวณ 7 กำลังของ 2 และรับ 49

$$\frac{11+6\sqrt{2}}{49}$$