แก้โจทย์ {left(frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}-1}right)}^2

$${ \left( \frac{ \sqrt{ 3 } +1 }{ \sqrt{ 3 } -1 } \right) }^{ 2 }$$

หาค่า

$$4\sqrt{3}+7\approx 13.92820323$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ทำตัวส่วนของ \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} ให้เป็นตรรกยะโดยการคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย \sqrt{3}+1

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

พิจารณา \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \sqrt{3} ยกกำลังสอง 1

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

ลบ 1 จาก 3 เพื่อรับ 2

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

คูณ \sqrt{3}+1 และ \sqrt{3}+1 เพื่อรับ \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

รากที่สองของ \sqrt{3} คือ 3

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

เพิ่ม 3 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 4

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

หารแต่ละพจน์ของ 4+2\sqrt{3} ด้วย 2 ให้ได้ 2+\sqrt{3}

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

รากที่สองของ \sqrt{3} คือ 3

$$4+4\sqrt{3}+3$$

เพิ่ม 4 และ 3 เพื่อให้ได้รับ 7

$$7+4\sqrt{3}$$

ขยาย

$$4 \sqrt{3} + 7 = 13.92820323$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ทำตัวส่วนของ \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} ให้เป็นตรรกยะโดยการคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย \sqrt{3}+1

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

พิจารณา \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \sqrt{3} ยกกำลังสอง 1

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

ลบ 1 จาก 3 เพื่อรับ 2

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

คูณ \sqrt{3}+1 และ \sqrt{3}+1 เพื่อรับ \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

รากที่สองของ \sqrt{3} คือ 3

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

เพิ่ม 3 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 4

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

หารแต่ละพจน์ของ 4+2\sqrt{3} ด้วย 2 ให้ได้ 2+\sqrt{3}

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

รากที่สองของ \sqrt{3} คือ 3

$$4+4\sqrt{3}+3$$

เพิ่ม 4 และ 3 เพื่อให้ได้รับ 7

$$7+4\sqrt{3}$$