แก้โจทย์ left(u+1right)^2=2u^2+5u+3

$${ \left( u+1 \right) }^{ 2 } =2 { u }^{ 2 } +5u+3$$

หาค่า u

$$u=-1$$

$$u=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(u+1\right)^{2}

$$u^{2}+2u+1=2u^{2}+5u+3$$

ลบ 2u^{2} จากทั้งสองด้าน

$$u^{2}+2u+1-2u^{2}=5u+3$$

รวม u^{2} และ -2u^{2} เพื่อให้ได้รับ -u^{2}

$$-u^{2}+2u+1=5u+3$$

ลบ 5u จากทั้งสองด้าน

$$-u^{2}+2u+1-5u=3$$

รวม 2u และ -5u เพื่อให้ได้รับ -3u

$$-u^{2}-3u+1=3$$

ลบ 3 จากทั้งสองด้าน

$$-u^{2}-3u+1-3=0$$

ลบ 3 จาก 1 เพื่อรับ -2

$$-u^{2}-3u-2=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น -u^{2}+au+bu-2 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-3 ab=-\left(-2\right)=2$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบ a และ b เป็นค่าลบทั้งคู่ คู่ดังกล่าวเท่านั้นที่เป็นผลเฉลยระบบ

$$a=-1 b=-2$$

เขียน -u^{2}-3u-2 ใหม่เป็น \left(-u^{2}-u\right)+\left(-2u-2\right)

$$\left(-u^{2}-u\right)+\left(-2u-2\right)$$

แยกตัวประกอบ u ในกลุ่มแรกและ 2 ใน

$$u\left(-u-1\right)+2\left(-u-1\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม -u-1 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(-u-1\right)\left(u+2\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข -u-1=0 และ u+2=0

$$u=-1 u=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(u+1\right)^{2}

$$u^{2}+2u+1=2u^{2}+5u+3$$

ลบ 2u^{2} จากทั้งสองด้าน

$$u^{2}+2u+1-2u^{2}=5u+3$$

รวม u^{2} และ -2u^{2} เพื่อให้ได้รับ -u^{2}

$$-u^{2}+2u+1=5u+3$$

ลบ 5u จากทั้งสองด้าน

$$-u^{2}+2u+1-5u=3$$

รวม 2u และ -5u เพื่อให้ได้รับ -3u

$$-u^{2}-3u+1=3$$

ลบ 3 จากทั้งสองด้าน

$$-u^{2}-3u+1-3=0$$

ลบ 3 จาก 1 เพื่อรับ -2

$$-u^{2}-3u-2=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ -1 แทน a, -3 แทน b และ -2 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

ยกกำลังสอง -3

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

คูณ -4 ด้วย -1

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+4\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

คูณ 4 ด้วย -2

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8}}{2\left(-1\right)}$$

เพิ่ม 9 ไปยัง -8

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{1}}{2\left(-1\right)}$$

หารากที่สองของ 1

$$u=\frac{-\left(-3\right)±1}{2\left(-1\right)}$$

ตรงข้ามกับ -3 คือ 3

$$u=\frac{3±1}{2\left(-1\right)}$$

คูณ 2 ด้วย -1

$$u=\frac{3±1}{-2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ u=\frac{3±1}{-2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 3 ไปยัง 1

$$u=\frac{4}{-2}$$

หาร 4 ด้วย -2

$$u=-2$$

ตอนนี้ แก้สมการ u=\frac{3±1}{-2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 1 จาก 3

$$u=\frac{2}{-2}$$

หาร 2 ด้วย -2

$$u=-1$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$u=-2 u=-1$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(u+1\right)^{2}

$$u^{2}+2u+1=2u^{2}+5u+3$$

ลบ 2u^{2} จากทั้งสองด้าน

$$u^{2}+2u+1-2u^{2}=5u+3$$

รวม u^{2} และ -2u^{2} เพื่อให้ได้รับ -u^{2}

$$-u^{2}+2u+1=5u+3$$

ลบ 5u จากทั้งสองด้าน

$$-u^{2}+2u+1-5u=3$$

รวม 2u และ -5u เพื่อให้ได้รับ -3u

$$-u^{2}-3u+1=3$$

ลบ 1 จากทั้งสองด้าน

$$-u^{2}-3u=3-1$$

ลบ 1 จาก 3 เพื่อรับ 2

$$-u^{2}-3u=2$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$\frac{-u^{2}-3u}{-1}=\frac{2}{-1}$$

หารด้วย -1 เลิกทำการคูณด้วย -1

$$u^{2}+\left(-\frac{3}{-1}\right)u=\frac{2}{-1}$$

หาร -3 ด้วย -1

$$u^{2}+3u=\frac{2}{-1}$$

หาร 2 ด้วย -1

$$u^{2}+3u=-2$$

หาร 3 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{3}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{3}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$u^{2}+3u+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{3}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$u^{2}+3u+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

เพิ่ม -2 ไปยัง \frac{9}{4}

$$u^{2}+3u+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

ตัวประกอบu^{2}+3u+\frac{9}{4} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(u+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(u+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$u+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} u+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

ลบ \frac{3}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$u=-1 u=-2$$