แก้โจทย์ sqrt{x+3}+sqrt{x+6}=sqrt{x+11}

$$\sqrt{ x+3 } + \sqrt{ x+6 } = \sqrt{ x+11 }$$

หาค่า x

$$x=-2$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}

$$\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{x+3} กำลังของ 2 และรับ x+3

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{x+6} กำลังของ 2 และรับ x+6

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+x+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

รวม x และ x เพื่อให้ได้รับ 2x

$$2x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

เพิ่ม 3 และ 6 เพื่อให้ได้รับ 9

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{x+11} กำลังของ 2 และรับ x+11

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11$$

ลบ 2x+9 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-\left(2x+9\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ 2x+9 ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-2x-9$$

รวม x และ -2x เพื่อให้ได้รับ -x

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+11-9$$

ลบ 9 จาก 11 เพื่อรับ 2

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+2$$

ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

ขยาย \left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}

$$2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

คำนวณ 2 กำลังของ 2 และรับ 4

$$4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{x+3} กำลังของ 2 และรับ x+3

$$4\left(x+3\right)\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{x+6} กำลังของ 2 และรับ x+6

$$4\left(x+3\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย x+3

$$\left(4x+12\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจง โดยการคูณแต่ละพจน์ของ 4x+12 กับแต่ละพจน์ของ x+6

$$4x^{2}+24x+12x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

รวม 24x และ 12x เพื่อให้ได้รับ 36x

$$4x^{2}+36x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(-x+2\right)^{2}

$$4x^{2}+36x+72=x^{2}-4x+4$$

ลบ x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$4x^{2}+36x+72-x^{2}=-4x+4$$

รวม 4x^{2} และ -x^{2} เพื่อให้ได้รับ 3x^{2}

$$3x^{2}+36x+72=-4x+4$$

เพิ่ม 4x ไปทั้งสองด้าน

$$3x^{2}+36x+72+4x=4$$

รวม 36x และ 4x เพื่อให้ได้รับ 40x

$$3x^{2}+40x+72=4$$

ลบ 4 จากทั้งสองด้าน

$$3x^{2}+40x+72-4=0$$

ลบ 4 จาก 72 เพื่อรับ 68

$$3x^{2}+40x+68=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 3x^{2}+ax+bx+68 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=40 ab=3\times 68=204$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน เนื่องจาก a+b เป็นบวก a และ b เป็นค่าบวกทั้งคู่ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 204

$$1,204 2,102 3,68 4,51 6,34 12,17$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1+204=205 2+102=104 3+68=71 4+51=55 6+34=40 12+17=29$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม 40

$$a=6 b=34$$

เขียน 3x^{2}+40x+68 ใหม่เป็น \left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right)

$$\left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right)$$

แยกตัวประกอบ 3x ในกลุ่มแรกและ 34 ใน

$$3x\left(x+2\right)+34\left(x+2\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม x+2 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(x+2\right)\left(3x+34\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข x+2=0 และ 3x+34=0

$$x=-2 x=-\frac{34}{3}$$

ทดแทน -\frac{34}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11} ไม่ได้กำหนดนิพจน์ \sqrt{-\frac{34}{3}+3} เนื่องจาก radicand ไม่สามารถเป็นค่าลบได้

$$\sqrt{-\frac{34}{3}+3}+\sqrt{-\frac{34}{3}+6}=\sqrt{-\frac{34}{3}+11}$$

ทดแทน -2 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}

$$\sqrt{-2+3}+\sqrt{-2+6}=\sqrt{-2+11}$$

ทำให้ง่ายขึ้น ค่า x=-2 ตรงตามสมการ

$$3=3$$

สมการ \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11} มีวิธีแก้ที่ไม่ซ้ำกัน

$$x=-2$$