แก้โจทย์ sqrt{x}=x-1

$$\sqrt{ x } =x-1$$

หาค่า x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2.618033989$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{x} กำลังของ 2 และรับ x

$$x=\left(x-1\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x-1\right)^{2}

$$x=x^{2}-2x+1$$

ลบ x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$x-x^{2}=-2x+1$$

เพิ่ม 2x ไปทั้งสองด้าน

$$x-x^{2}+2x=1$$

รวม x และ 2x เพื่อให้ได้รับ 3x

$$3x-x^{2}=1$$

ลบ 1 จากทั้งสองด้าน

$$3x-x^{2}-1=0$$

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$-x^{2}+3x-1=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ -1 แทน a, 3 แทน b และ -1 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

ยกกำลังสอง 3

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

คูณ -4 ด้วย -1

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

คูณ 4 ด้วย -1

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4}}{2\left(-1\right)}$$

เพิ่ม 9 ไปยัง -4

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

คูณ 2 ด้วย -1

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -3 ไปยัง \sqrt{5}

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{-2}$$

หาร -3+\sqrt{5} ด้วย -2

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ \sqrt{5} จาก -3

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{-2}$$

หาร -3-\sqrt{5} ด้วย -2

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

ทดแทน \frac{3-\sqrt{5}}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \sqrt{x}=x-1

$$\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}-1$$

ทำให้ง่ายขึ้น ค่า x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} ไม่ตรงกับสมการเนื่องจากหน้าซ้ายและด้านขวามีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

ทดแทน \frac{\sqrt{5}+3}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \sqrt{x}=x-1

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}=\frac{\sqrt{5}+3}{2}-1$$

ทำให้ง่ายขึ้น ค่า x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} ตรงตามสมการ

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

สมการ \sqrt{x}=x-1 มีวิธีแก้ที่ไม่ซ้ำกัน

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$