แก้โจทย์ sqrt{1-x}+sqrt{1+x}=sqrt{2}

$$\sqrt{ 1-x } + \sqrt{ 1+x } = \sqrt{ 2 }$$

หาค่า x

$$x=1$$

$$x=-1$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ลบ \sqrt{1+x} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{1-x}=\sqrt{2}-\sqrt{1+x}$$

ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(\sqrt{1-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{1-x} กำลังของ 2 และรับ 1-x

$$1-x=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}

$$1-x=\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

รากที่สองของ \sqrt{2} คือ 2

$$1-x=2-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{1+x} กำลังของ 2 และรับ 1+x

$$1-x=2-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+1+x$$

เพิ่ม 2 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 3

$$1-x=3-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+x$$

ลบ 3+x จากทั้งสองข้างของสมการ

$$1-x-\left(3+x\right)=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ 3+x ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$1-x-3-x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

ลบ 3 จาก 1 เพื่อรับ -2

$$-2-x-x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

รวม -x และ -x เพื่อให้ได้รับ -2x

$$-2-2x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(-2-2x\right)^{2}=\left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(-2-2x\right)^{2}

$$4+8x+4x^{2}=\left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

ขยาย \left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}

$$4+8x+4x^{2}=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

คำนวณ -2 กำลังของ 2 และรับ 4

$$4+8x+4x^{2}=4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

รากที่สองของ \sqrt{2} คือ 2

$$4+8x+4x^{2}=4\times 2\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

คูณ 4 และ 2 เพื่อรับ 8

$$4+8x+4x^{2}=8\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{1+x} กำลังของ 2 และรับ 1+x

$$4+8x+4x^{2}=8\left(1+x\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 8 ด้วย 1+x

$$4+8x+4x^{2}=8+8x$$

ลบ 8 จากทั้งสองด้าน

$$4+8x+4x^{2}-8=8x$$

ลบ 8 จาก 4 เพื่อรับ -4

$$-4+8x+4x^{2}=8x$$

ลบ 8x จากทั้งสองด้าน

$$-4+8x+4x^{2}-8x=0$$

รวม 8x และ -8x เพื่อให้ได้รับ 0

$$-4+4x^{2}=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$-1+x^{2}=0$$

พิจารณา -1+x^{2} เขียน -1+x^{2} ใหม่เป็น x^{2}-1^{2} ความแตกต่างของสี่เหลี่ยมสามารถแยกตัวประกอบได้โดยใช้กฎ: a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข x-1=0 และ x+1=0

$$x=1 x=-1$$

ทดแทน 1 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=\sqrt{2}

$$\sqrt{1-1}+\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$

ทำให้ง่ายขึ้น ค่า x=1 ตรงตามสมการ

$$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

ทดแทน -1 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=\sqrt{2}

$$\sqrt{1-\left(-1\right)}+\sqrt{1-1}=\sqrt{2}$$

ทำให้ง่ายขึ้น ค่า x=-1 ตรงตามสมการ

$$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

แสดงรายการวิธีแก้ทั้งหมดของ \sqrt{1-x}=-\sqrt{x+1}+\sqrt{2}

$$x=1 x=-1$$