แก้โจทย์ sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1}

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2.732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0.732050808$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{x^{2}-1} กำลังของ 2 และรับ x^{2}-1

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{2x+1} กำลังของ 2 และรับ 2x+1

$$x^{2}-1=2x+1$$

ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$x^{2}-1-2x=1$$

ลบ 1 จากทั้งสองด้าน

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

ลบ 1 จาก -1 เพื่อรับ -2

$$x^{2}-2-2x=0$$

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$x^{2}-2x-2=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 1 แทน a, -2 แทน b และ -2 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

ยกกำลังสอง -2

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

คูณ -4 ด้วย -2

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

เพิ่ม 4 ไปยัง 8

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

หารากที่สองของ 12

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

ตรงข้ามกับ -2 คือ 2

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 2 ไปยัง 2\sqrt{3}

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

หาร 2+2\sqrt{3} ด้วย 2

$$x=\sqrt{3}+1$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 2\sqrt{3} จาก 2

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

หาร 2-2\sqrt{3} ด้วย 2

$$x=1-\sqrt{3}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

ทดแทน \sqrt{3}+1 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

ทำให้ง่ายขึ้น ค่า x=\sqrt{3}+1 ตรงตามสมการ

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

ทดแทน 1-\sqrt{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

ทำให้ง่ายขึ้น ค่า x=1-\sqrt{3} ตรงตามสมการ

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

แสดงรายการวิธีแก้ทั้งหมดของ \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

หาค่า x

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2.732050808$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{x^{2}-1} กำลังของ 2 และรับ x^{2}-1

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{2x+1} กำลังของ 2 และรับ 2x+1

$$x^{2}-1=2x+1$$

ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$x^{2}-1-2x=1$$

ลบ 1 จากทั้งสองด้าน

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

ลบ 1 จาก -1 เพื่อรับ -2

$$x^{2}-2-2x=0$$

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$x^{2}-2x-2=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 1 แทน a, -2 แทน b และ -2 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

ยกกำลังสอง -2

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

คูณ -4 ด้วย -2

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

เพิ่ม 4 ไปยัง 8

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

หารากที่สองของ 12

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

ตรงข้ามกับ -2 คือ 2

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 2 ไปยัง 2\sqrt{3}

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

หาร 2+2\sqrt{3} ด้วย 2

$$x=\sqrt{3}+1$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 2\sqrt{3} จาก 2

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

หาร 2-2\sqrt{3} ด้วย 2

$$x=1-\sqrt{3}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

ทดแทน \sqrt{3}+1 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

ทำให้ง่ายขึ้น ค่า x=\sqrt{3}+1 ตรงตามสมการ

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

ทดแทน 1-\sqrt{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} ไม่ได้กำหนดนิพจน์ \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} เนื่องจาก radicand ไม่สามารถเป็นค่าลบได้

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

สมการ \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} มีวิธีแก้ที่ไม่ซ้ำกัน

$$x=\sqrt{3}+1$$