แก้โจทย์ sqrt{5x-1}-sqrt{3x-2}=sqrt{x-1}

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 x - 2 } = \sqrt { x - 1 }$$

หาค่า x

$$x=2$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{5x-1} กำลังของ 2 และรับ 5x-1

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{3x-2} กำลังของ 2 และรับ 3x-2

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+3x-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

รวม 5x และ 3x เพื่อให้ได้รับ 8x

$$8x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

ลบ 2 จาก -1 เพื่อรับ -3

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{x-1} กำลังของ 2 และรับ x-1

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1$$

ลบ 8x-3 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-\left(8x-3\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ 8x-3 ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-8x+3$$

รวม x และ -8x เพื่อให้ได้รับ -7x

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x-1+3$$

เพิ่ม -1 และ 3 เพื่อให้ได้รับ 2

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x+2$$

ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

ขยาย \left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

คำนวณ -2 กำลังของ 2 และรับ 4

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{5x-1} กำลังของ 2 และรับ 5x-1

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{3x-2} กำลังของ 2 และรับ 3x-2

$$4\left(5x-1\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย 5x-1

$$\left(20x-4\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจง โดยการคูณแต่ละพจน์ของ 20x-4 กับแต่ละพจน์ของ 3x-2

$$60x^{2}-40x-12x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

รวม -40x และ -12x เพื่อให้ได้รับ -52x

$$60x^{2}-52x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(-7x+2\right)^{2}

$$60x^{2}-52x+8=49x^{2}-28x+4$$

ลบ 49x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$60x^{2}-52x+8-49x^{2}=-28x+4$$

รวม 60x^{2} และ -49x^{2} เพื่อให้ได้รับ 11x^{2}

$$11x^{2}-52x+8=-28x+4$$

เพิ่ม 28x ไปทั้งสองด้าน

$$11x^{2}-52x+8+28x=4$$

รวม -52x และ 28x เพื่อให้ได้รับ -24x

$$11x^{2}-24x+8=4$$

ลบ 4 จากทั้งสองด้าน

$$11x^{2}-24x+8-4=0$$

ลบ 4 จาก 8 เพื่อรับ 4

$$11x^{2}-24x+4=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 11x^{2}+ax+bx+4 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-24 ab=11\times 4=44$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบ a และ b เป็นค่าลบทั้งคู่ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 44

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -24

$$a=-22 b=-2$$

เขียน 11x^{2}-24x+4 ใหม่เป็น \left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)$$

แยกตัวประกอบ 11x ในกลุ่มแรกและ -2 ใน

$$11x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม x-2 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข x-2=0 และ 11x-2=0

$$x=2 x=\frac{2}{11}$$

ทดแทน \frac{2}{11} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} ไม่ได้กำหนดนิพจน์ \sqrt{5\times \frac{2}{11}-1} เนื่องจาก radicand ไม่สามารถเป็นค่าลบได้

$$\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1}-\sqrt{3\times \frac{2}{11}-2}=\sqrt{\frac{2}{11}-1}$$

ทดแทน 2 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3\times 2-2}=\sqrt{2-1}$$

ทำให้ง่ายขึ้น ค่า x=2 ตรงตามสมการ

$$1=1$$

สมการ \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} มีวิธีแก้ที่ไม่ซ้ำกัน

$$x=2$$