แก้โจทย์ sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3.31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3.31662479i$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ลบ -\sqrt{15+x^{2}} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{25-x^{2}} กำลังของ 2 และรับ 25-x^{2}

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{15+x^{2}} กำลังของ 2 และรับ 15+x^{2}

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

เพิ่ม 16 และ 15 เพื่อให้ได้รับ 31

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

ลบ 31+x^{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ 31+x^{2} ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

ลบ 31 จาก 25 เพื่อรับ -6

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

รวม -x^{2} และ -x^{2} เพื่อให้ได้รับ -2x^{2}

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(-6-2x^{2}\right)^{2}

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

เมื่อต้องการยกกำลังจำนวนยกกำลังอื่น ให้คูณเลขชี้กำลังด้วยกัน คูณ 2 กับ 2 ให้ได้ 4

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

ขยาย \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

คำนวณ 8 กำลังของ 2 และรับ 64

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{15+x^{2}} กำลังของ 2 และรับ 15+x^{2}

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 64 ด้วย 15+x^{2}

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

ลบ 960 จากทั้งสองด้าน

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

ลบ 960 จาก 36 เพื่อรับ -924

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

ลบ 64x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

รวม 24x^{2} และ -64x^{2} เพื่อให้ได้รับ -40x^{2}

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

แทนค่า t สำหรับ x^{2}

$$4t^{2}-40t-924=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 4 สำหรับ a -40 สำหรับ b และ -924 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

ทำการคำนวณ

$$t=\frac{40±128}{8}$$

แก้สมการ t=\frac{40±128}{8} เมื่อ ± เป็นบวก และเมื่อ ± เป็นลบ

$$t=21 t=-11$$

เนื่องจาก x=t^{2} ได้ผลเฉลยโดยการหาค่า x=±\sqrt{t} สำหรับแต่ละ t

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

ทดแทน -\sqrt{21} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

ทำให้ง่ายขึ้น ค่า x=-\sqrt{21} ไม่ตรงกับสมการเนื่องจากหน้าซ้ายและด้านขวามีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน

$$-4=4$$

ทดแทน \sqrt{21} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

ทำให้ง่ายขึ้น ค่า x=\sqrt{21} ไม่ตรงกับสมการเนื่องจากหน้าซ้ายและด้านขวามีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน

$$-4=4$$

ทดแทน -\sqrt{11}i สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

ทำให้ง่ายขึ้น ค่า x=-\sqrt{11}i ตรงตามสมการ

$$4=4$$

ทดแทน \sqrt{11}i สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

ทำให้ง่ายขึ้น ค่า x=\sqrt{11}i ตรงตามสมการ

$$4=4$$

แสดงรายการวิธีแก้ทั้งหมดของ \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$