แก้โจทย์ sqrt{2x-1}-sqrt{x-1}=sqrt{6-x}

$$\sqrt { 2 x - 1 } - \sqrt { x - 1 } = \sqrt { 6 - x }$$

หาค่า x

$$x=5$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(\sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(\sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}\right)^{2}

$$\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{2x-1} กำลังของ 2 และรับ 2x-1

$$2x-1-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{x-1} กำลังของ 2 และรับ x-1

$$2x-1-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}+x-1=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

รวม 2x และ x เพื่อให้ได้รับ 3x

$$3x-1-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}-1=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

ลบ 1 จาก -1 เพื่อรับ -2

$$3x-2-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{6-x} กำลังของ 2 และรับ 6-x

$$3x-2-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-x$$

ลบ 3x-2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-x-\left(3x-2\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ 3x-2 ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-x-3x+2$$

รวม -x และ -3x เพื่อให้ได้รับ -4x

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-4x+2$$

เพิ่ม 6 และ 2 เพื่อให้ได้รับ 8

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=8-4x$$

ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

ขยาย \left(-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}\right)^{2}

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

คำนวณ -2 กำลังของ 2 และรับ 4

$$4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{2x-1} กำลังของ 2 และรับ 2x-1

$$4\left(2x-1\right)\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{x-1} กำลังของ 2 และรับ x-1

$$4\left(2x-1\right)\left(x-1\right)=\left(8-4x\right)^{2}$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย 2x-1

$$\left(8x-4\right)\left(x-1\right)=\left(8-4x\right)^{2}$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจง โดยการคูณแต่ละพจน์ของ 8x-4 กับแต่ละพจน์ของ x-1

$$8x^{2}-8x-4x+4=\left(8-4x\right)^{2}$$

รวม -8x และ -4x เพื่อให้ได้รับ -12x

$$8x^{2}-12x+4=\left(8-4x\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(8-4x\right)^{2}

$$8x^{2}-12x+4=64-64x+16x^{2}$$

ลบ 64 จากทั้งสองด้าน

$$8x^{2}-12x+4-64=-64x+16x^{2}$$

ลบ 64 จาก 4 เพื่อรับ -60

$$8x^{2}-12x-60=-64x+16x^{2}$$

เพิ่ม 64x ไปทั้งสองด้าน

$$8x^{2}-12x-60+64x=16x^{2}$$

รวม -12x และ 64x เพื่อให้ได้รับ 52x

$$8x^{2}+52x-60=16x^{2}$$

ลบ 16x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$8x^{2}+52x-60-16x^{2}=0$$

รวม 8x^{2} และ -16x^{2} เพื่อให้ได้รับ -8x^{2}

$$-8x^{2}+52x-60=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น -2x^{2}+ax+bx-15 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=13 ab=-2\left(-15\right)=30$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน เนื่องจาก a+b เป็นบวก a และ b เป็นค่าบวกทั้งคู่ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 30

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม 13

$$a=10 b=3$$

เขียน -2x^{2}+13x-15 ใหม่เป็น \left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right)

$$\left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right)$$

แยกตัวประกอบ 2x ในกลุ่มแรกและ -3 ใน

$$2x\left(-x+5\right)-3\left(-x+5\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม -x+5 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(-x+5\right)\left(2x-3\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข -x+5=0 และ 2x-3=0

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$

ทดแทน 5 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x}

$$\sqrt{2\times 5-1}-\sqrt{5-1}=\sqrt{6-5}$$

ทำให้ง่ายขึ้น ค่า x=5 ตรงตามสมการ

$$1=1$$

ทดแทน \frac{3}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x}

$$\sqrt{2\times \frac{3}{2}-1}-\sqrt{\frac{3}{2}-1}=\sqrt{6-\frac{3}{2}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น ค่า x=\frac{3}{2} ไม่ตรงกับสมการ

$$\frac{1}{2}\times 2^{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}\times 2^{\frac{1}{2}}$$

ทดแทน 5 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x}

$$\sqrt{2\times 5-1}-\sqrt{5-1}=\sqrt{6-5}$$

ทำให้ง่ายขึ้น ค่า x=5 ตรงตามสมการ

$$1=1$$

สมการ \sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x} มีวิธีแก้ที่ไม่ซ้ำกัน

$$x=5$$