แก้โจทย์ sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

หาค่า x

$$x=\sqrt{10}\approx 3.16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3.16227766$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ลบ -\sqrt{19-x^{2}} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{15+x^{2}} กำลังของ 2 และรับ 15+x^{2}

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{19-x^{2}} กำลังของ 2 และรับ 19-x^{2}

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

เพิ่ม 4 และ 19 เพื่อให้ได้รับ 23

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

ลบ 23-x^{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ 23-x^{2} ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

ลบ 23 จาก 15 เพื่อรับ -8

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

รวม x^{2} และ x^{2} เพื่อให้ได้รับ 2x^{2}

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(-8+2x^{2}\right)^{2}

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

เมื่อต้องการยกกำลังจำนวนยกกำลังอื่น ให้คูณเลขชี้กำลังด้วยกัน คูณ 2 กับ 2 ให้ได้ 4

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

ขยาย \left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

คำนวณ 4 กำลังของ 2 และรับ 16

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{19-x^{2}} กำลังของ 2 และรับ 19-x^{2}

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 16 ด้วย 19-x^{2}

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

ลบ 304 จากทั้งสองด้าน

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

ลบ 304 จาก 64 เพื่อรับ -240

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

เพิ่ม 16x^{2} ไปทั้งสองด้าน

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

รวม -32x^{2} และ 16x^{2} เพื่อให้ได้รับ -16x^{2}

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

แทนค่า t สำหรับ x^{2}

$$4t^{2}-16t-240=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 4 สำหรับ a -16 สำหรับ b และ -240 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

ทำการคำนวณ

$$t=\frac{16±64}{8}$$

แก้สมการ t=\frac{16±64}{8} เมื่อ ± เป็นบวก และเมื่อ ± เป็นลบ

$$t=10 t=-6$$

เนื่องจาก x=t^{2} ได้ผลเฉลยโดยการหาค่า x=±\sqrt{t} สำหรับ t เชิงบวก

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

ทดแทน \sqrt{10} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

ทำให้ง่ายขึ้น ค่า x=\sqrt{10} ตรงตามสมการ

$$2=2$$

ทดแทน -\sqrt{10} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

ทำให้ง่ายขึ้น ค่า x=-\sqrt{10} ตรงตามสมการ

$$2=2$$

แสดงรายการวิธีแก้ทั้งหมดของ \sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$