แก้โจทย์ sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}=sqrt{(x-(-2))^2+(y-4)^2}

$$\sqrt { ( x - 2 ) ^ { 2 } + ( y - 2 ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( x - ( - 2 ) ) ^ { 2 } + ( y - 4 ) ^ { 2 } }$$

หาค่า x

$$x=\frac{y-3}{2}$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x-2\right)^{2}

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(y-2\right)^{2}

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

เพิ่ม 4 และ 4 เพื่อให้ได้รับ 8

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y} กำลังของ 2 และรับ x^{2}-4x+8+y^{2}-4y

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

ตรงข้ามกับ -2 คือ 2

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x+2\right)^{2}

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(y-4\right)^{2}

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

เพิ่ม 4 และ 16 เพื่อให้ได้รับ 20

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y} กำลังของ 2 และรับ x^{2}+4x+20+y^{2}-8y

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

ลบ x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-x^{2}=4x+20+y^{2}-8y$$

รวม x^{2} และ -x^{2} เพื่อให้ได้รับ 0

$$-4x+8+y^{2}-4y=4x+20+y^{2}-8y$$

ลบ 4x จากทั้งสองด้าน

$$-4x+8+y^{2}-4y-4x=20+y^{2}-8y$$

รวม -4x และ -4x เพื่อให้ได้รับ -8x

$$-8x+8+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y$$

ลบ 8 จากทั้งสองด้าน

$$-8x+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y-8$$

ลบ 8 จาก 20 เพื่อรับ 12

$$-8x+y^{2}-4y=12+y^{2}-8y$$

ลบ y^{2} จากทั้งสองด้าน

$$-8x-4y=12+y^{2}-8y-y^{2}$$

รวม y^{2} และ -y^{2} เพื่อให้ได้รับ 0

$$-8x-4y=12-8y$$

เพิ่ม 4y ไปทั้งสองด้าน

$$-8x=12-8y+4y$$

รวม -8y และ 4y เพื่อให้ได้รับ -4y

$$-8x=12-4y$$

หารทั้งสองข้างด้วย -8

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{12-4y}{-8}$$

หารด้วย -8 เลิกทำการคูณด้วย -8

$$x=\frac{12-4y}{-8}$$

หาร 12-4y ด้วย -8

$$x=\frac{y-3}{2}$$

ทดแทน \frac{y-3}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}

$$\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น ค่า x=\frac{y-3}{2} ตรงตามสมการ

$$\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

สมการ \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} มีวิธีแก้ที่ไม่ซ้ำกัน

$$x=\frac{y-3}{2}$$

หาค่า y

$$y=2x+3$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x-2\right)^{2}

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(y-2\right)^{2}

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

เพิ่ม 4 และ 4 เพื่อให้ได้รับ 8

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y} กำลังของ 2 และรับ x^{2}-4x+8+y^{2}-4y

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

ตรงข้ามกับ -2 คือ 2

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x+2\right)^{2}

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(y-4\right)^{2}

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

เพิ่ม 4 และ 16 เพื่อให้ได้รับ 20

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

คำนวณ \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y} กำลังของ 2 และรับ x^{2}+4x+20+y^{2}-8y

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

ลบ y^{2} จากทั้งสองด้าน

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-y^{2}=x^{2}+4x+20-8y$$

รวม y^{2} และ -y^{2} เพื่อให้ได้รับ 0

$$x^{2}-4x+8-4y=x^{2}+4x+20-8y$$

เพิ่ม 8y ไปทั้งสองด้าน

$$x^{2}-4x+8-4y+8y=x^{2}+4x+20$$

รวม -4y และ 8y เพื่อให้ได้รับ 4y

$$x^{2}-4x+8+4y=x^{2}+4x+20$$

ลบ x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$-4x+8+4y=x^{2}+4x+20-x^{2}$$

รวม x^{2} และ -x^{2} เพื่อให้ได้รับ 0

$$-4x+8+4y=4x+20$$

เพิ่ม 4x ไปทั้งสองด้าน

$$8+4y=4x+20+4x$$

รวม 4x และ 4x เพื่อให้ได้รับ 8x

$$8+4y=8x+20$$

ลบ 8 จากทั้งสองด้าน

$$4y=8x+20-8$$

ลบ 8 จาก 20 เพื่อรับ 12

$$4y=8x+12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$\frac{4y}{4}=\frac{8x+12}{4}$$

หารด้วย 4 เลิกทำการคูณด้วย 4

$$y=\frac{8x+12}{4}$$

หาร 8x+12 ด้วย 4

$$y=2x+3$$

ทดแทน 2x+3 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(2x+3-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(2x+3-4\right)^{2}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น ค่า y=2x+3 ตรงตามสมการ

$$\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

สมการ \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} มีวิธีแก้ที่ไม่ซ้ำกัน

$$y=2x+3$$