แก้โจทย์ sin(x)

$$\sin ( x )$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. x

$$\cos(x)$$

ขั้นตอนที่ใช้นิยามของอนุพันธ์

สำหรับฟังก์ชัน f\left(x\right), อนุพันธ์คือขีดจำกัดของ \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} เป็น h ไปที่ 0 ถ้าข้อจำกัดมีอยู่

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin(x))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\right)$$

ใช้สูตรผลรวมของไซน์

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}$$

แยกตัวประกอบ \sin(x)

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(x)\sin(h)}{h}$$

เขียนขีดจำกัดเขียนใหม่

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

ใช้ข้อเท็จจริงที่ x เป็นค่าคงที่เมื่อคำนวณขีดจำกัดเป็น h ไปที่ 0

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

ขีดจำกัด \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} คือ 1

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)$$

ในการหาค่าข้อจำกัด \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h} ขั้นแรก คูณตัวเศษและตัวส่วนโดย \cos(h)+1

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

คูณ \cos(h)+1 ด้วย \cos(h)-1

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

ใช้เอกลักษณ์ของพีทาโกรัส

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

เขียนขีดจำกัดเขียนใหม่

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

ขีดจำกัด \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} คือ 1

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

ใช้ข้อเท็จจริงที่ \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} เป็นแบบต่อเนื่องที่ 0

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

แทนที่ค่า 0 ลงในนิพจน์ \sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)

$$\cos(x)$$

หาค่า

$$\sin(x)$$