แก้โจทย์ {r}{3x+5y=1}{x+y=1}

$$\left.\begin{array} { r } { 3 x + 5 y = 1 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right\}$$

หาค่า x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+5y=1,x+y=1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+5y=1$$

ลบ 5y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-5y+1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+1\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -5y+1

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}$$

ทดแทน \frac{-5y+1}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x+y=1

$$-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}+y=1$$

เพิ่ม -\frac{5y}{3} ไปยัง y

$$-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}=1$$

ลบ \frac{1}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{2}{3}y=\frac{2}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{2}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}$$

คูณ -\frac{5}{3} ด้วย -1

$$x=\frac{5+1}{3}$$

เพิ่ม \frac{1}{3} ไปยัง \frac{5}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=-1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+5y=1,x+y=1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-5}&-\frac{5}{3-5}\\-\frac{1}{3-5}&\frac{3}{3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{5}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{-1+5}{2}\\\frac{1-3}{2}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=2,y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+5y=1,x+y=1$$

เพื่อทำให้ 3x และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$3x+5y=1,3x+3y=3$$

ลบ 3x+3y=3 จาก 3x+5y=1 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-3x+5y-3y=1-3$$

เพิ่ม 3x ไปยัง -3x ตัดพจน์ 3x และ -3x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$5y-3y=1-3$$

เพิ่ม 5y ไปยัง -3y

$$2y=1-3$$

เพิ่ม 1 ไปยัง -3

$$2y=-2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน x+y=1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x-1=1$$

เพิ่ม 1 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=-1$$