แก้โจทย์ {l}{x+y=39}{4x+2y=126}

$$\left.\begin{array} { l } { x + y = 39 } \\ { 4 x + 2 y = 126 } \end{array} \right\}$$

หาค่า x, y

$$x=24$$

$$y=15$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=39,4x+2y=126$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=39$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+39$$

ทดแทน -y+39 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x+2y=126

$$4\left(-y+39\right)+2y=126$$

คูณ 4 ด้วย -y+39

$$-4y+156+2y=126$$

เพิ่ม -4y ไปยัง 2y

$$-2y+156=126$$

ลบ 156 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-2y=-30$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$y=15$$

ทดแทน 15 สำหรับ y ใน x=-y+39 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-15+39$$

เพิ่ม 39 ไปยัง -15

$$x=24$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=24,y=15$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=39,4x+2y=126$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\126\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\126\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\126\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\126\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-4}&-\frac{1}{2-4}\\-\frac{4}{2-4}&\frac{1}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\126\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{1}{2}\\2&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\126\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-39+\frac{1}{2}\times 126\\2\times 39-\frac{1}{2}\times 126\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\15\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=24,y=15$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=39,4x+2y=126$$

เพื่อทำให้ x และ 4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$4x+4y=4\times 39,4x+2y=126$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$4x+4y=156,4x+2y=126$$

ลบ 4x+2y=126 จาก 4x+4y=156 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-4x+4y-2y=156-126$$

เพิ่ม 4x ไปยัง -4x ตัดพจน์ 4x และ -4x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4y-2y=156-126$$

เพิ่ม 4y ไปยัง -2y

$$2y=156-126$$

เพิ่ม 156 ไปยัง -126

$$2y=30$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=15$$

ทดแทน 15 สำหรับ y ใน 4x+2y=126 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x+2\times 15=126$$

คูณ 2 ด้วย 15

$$4x+30=126$$

ลบ 30 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=96$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=24$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=24,y=15$$