แก้โจทย์ {l}{4x-y=-14}{3x-y=-11}

$$\left.\begin{array} { l } { 4 x - y = - 14 } \\ { 3 x - y = - 11 } \end{array} \right\}$$

หาค่า x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x-y=-14,3x-y=-11$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-y=-14$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=y-14$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(y-14\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย y-14

$$x=\frac{1}{4}y-\frac{7}{2}$$

ทดแทน \frac{y}{4}-\frac{7}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x-y=-11

$$3\left(\frac{1}{4}y-\frac{7}{2}\right)-y=-11$$

คูณ 3 ด้วย \frac{y}{4}-\frac{7}{2}

$$\frac{3}{4}y-\frac{21}{2}-y=-11$$

เพิ่ม \frac{3y}{4} ไปยัง -y

$$-\frac{1}{4}y-\frac{21}{2}=-11$$

เพิ่ม \frac{21}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{1}{4}y=-\frac{1}{2}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -4

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน x=\frac{1}{4}y-\frac{7}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{4}\times 2-\frac{7}{2}$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย 2

$$x=\frac{1-7}{2}$$

เพิ่ม -\frac{7}{2} ไปยัง \frac{1}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-3,y=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x-y=-14,3x-y=-11$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14-\left(-11\right)\\3\left(-14\right)-4\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-3,y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x-y=-14,3x-y=-11$$

ลบ 3x-y=-11 จาก 4x-y=-14 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-3x-y+y=-14+11$$

เพิ่ม -y ไปยัง y ตัดพจน์ -y และ y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4x-3x=-14+11$$

เพิ่ม 4x ไปยัง -3x

$$x=-14+11$$

เพิ่ม -14 ไปยัง 11

$$x=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ x ใน 3x-y=-11 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$3\left(-3\right)-y=-11$$

คูณ 3 ด้วย -3

$$-9-y=-11$$

เพิ่ม 9 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-y=-2$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-3,y=2$$