แก้โจทย์ {l}{4*(x+2y)-x=-y}{-3x=2y-4-x}

$$\left.\begin{array} { l } { 4 \cdot ( x + 2 y ) - x = - y } \\ { - 3 x = 2 y - 4 - x } \end{array} \right\}$$

หาค่า x, y

$$x=3$$

$$y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย x+2y

$$4x+8y-x=-y$$

รวม 4x และ -x เพื่อให้ได้รับ 3x

$$3x+8y=-y$$

เพิ่ม y ไปทั้งสองด้าน

$$3x+8y+y=0$$

รวม 8y และ y เพื่อให้ได้รับ 9y

$$3x+9y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$-3x-2y=-4-x$$

เพิ่ม x ไปทั้งสองด้าน

$$-3x-2y+x=-4$$

รวม -3x และ x เพื่อให้ได้รับ -2x

$$-2x-2y=-4$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+9y=0$$

ลบ 9y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-9y$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-9\right)y$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -9y

$$x=-3y$$

ทดแทน -3y สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -2x-2y=-4

$$-2\left(-3\right)y-2y=-4$$

คูณ -2 ด้วย -3y

$$6y-2y=-4$$

เพิ่ม 6y ไปยัง -2y

$$4y=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน x=-3y เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-3\left(-1\right)$$

คูณ -3 ด้วย -1

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=-1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย x+2y

$$4x+8y-x=-y$$

รวม 4x และ -x เพื่อให้ได้รับ 3x

$$3x+8y=-y$$

เพิ่ม y ไปทั้งสองด้าน

$$3x+8y+y=0$$

รวม 8y และ y เพื่อให้ได้รับ 9y

$$3x+9y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$-3x-2y=-4-x$$

เพิ่ม x ไปทั้งสองด้าน

$$-3x-2y+x=-4$$

รวม -3x และ x เพื่อให้ได้รับ -2x

$$-2x-2y=-4$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}&-\frac{9}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&-\frac{3}{4}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\left(-4\right)\\\frac{1}{4}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=3,y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย x+2y

$$4x+8y-x=-y$$

รวม 4x และ -x เพื่อให้ได้รับ 3x

$$3x+8y=-y$$

เพิ่ม y ไปทั้งสองด้าน

$$3x+8y+y=0$$

รวม 8y และ y เพื่อให้ได้รับ 9y

$$3x+9y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$-3x-2y=-4-x$$

เพิ่ม x ไปทั้งสองด้าน

$$-3x-2y+x=-4$$

รวม -3x และ x เพื่อให้ได้รับ -2x

$$-2x-2y=-4$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

เพื่อทำให้ 3x และ -2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$-2\times 3x-2\times 9y=0,3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\left(-4\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-6x-18y=0,-6x-6y=-12$$

ลบ -6x-6y=-12 จาก -6x-18y=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-6x+6x-18y+6y=12$$

เพิ่ม -6x ไปยัง 6x ตัดพจน์ -6x และ 6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-18y+6y=12$$

เพิ่ม -18y ไปยัง 6y

$$-12y=12$$

หารทั้งสองข้างด้วย -12

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน -2x-2y=-4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-2x-2\left(-1\right)=-4$$

คูณ -2 ด้วย -1

$$-2x+2=-4$$

ลบ 2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-2x=-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=-1$$